2005年第3期牡丹江教育学院学报No.32005(总第91期)JOURNALOFMUDANJIANGCOLLEGEOFEDUCATIONSerialNo.91利用微分学证明不等式刘海燕(牡丹江教育学院,黑龙江牡丹江157005)[摘要]不等式的证明是数学的重要内容之一,也是高等数学的重要工具。证明不等式的方法有很多种,而在某些情况下利用微分学证明不等式也是一种极为有效的方法,本文将介绍几种利用微分学证明不等式的方法,以更加明确微分学证明不等式的重要性。[关键词]微分学;不等式;证明[中图分类号]0172[文献标识码]A[文章编号]1009-2323(2005)03-0014-02不等式的证明是数学的重要内容之一,也是高下面我们假定|f(ξ)|>0,于是ξ∈(a,b),并且等数学的重要工具。它题型广泛,技巧多变,思路f′(ξ)=0,考虑f(x)在ξ点的展开式灵活,涉及的知识面也较广。常用的证法有比较f(x)=f(ξ)+f′(ξ)(x-ξ)+f″(η)(x-ξ)2法、综合法、分析法、重要不等式法,在证明与自然12=f(ξ)+f″(η)(x-ξ)有关的不等式时还有数学归纳法。2函数的单调极值问题其本身都与不等式密切(a+b)若ξ∈[a,],则在展开式中令x=a就得到相联,而微分学中值定理和Taylor公式又使我们2能够通过对导数或余项的估计来确定变量间的大120=f(a)=f(ξ)+f″(η)(a-ξ)小关系,因此常常是证明不等式的得力工具,相对2于函数极值概念的局部性,函数的最值则是一种整max12从而aFxFb{|f(x)|}=|f(ξ)|=|f″(η)|(ξ-a)体的概念,即是在一固定的区间内有意义的概念,2这是和极值概念绝然不同的所在。那么我们如何12=(b-a)max{|f″(x)|}通过运用导数与微分这样的反映局部性质的概念8aFxFb来研究最值呢?12=(b-a)max{|f(x)|}显然我们只能给出一个最值的必要条件,就是8aFxFb(a+b)一个最值首先必须是一个极值。这也就是说最值若ξ∈[,b],可取x=b,仍得到上面不2是包含在极值之中的,至于通过极值来找到最值,最终还是必须依靠对可能有的不同极值进行比较。等式,证毕。二、柯西定理如果极值的数目是有限的,并且不是很多,那么就定理设()与()均在上连续在比较容易得到最值;如果极值是无穷多的,或者是2fxgx[a,b],()内可导且()≠存在ξ∈()使得数目极大的,就面临得到最值的困难。因此实际上a,b,gx0a,b,»(b)-»(a)»′(ξ)通过导数的方法来求最值,并没有最终解决问题,=()()′(ξ)而只是在一定的条件下可以得到解决。下面本文gb-gaga-bba-b将讨论一下如何利用微分学证明不等式。例2设0<b<a,求证:<ln<aaa一、Taylor公式的应用n+1证明:做函数Ф(t)=lnt(b≤t≤a),则定理1设f(x)∈C(a,b),则对任意x,x0∈1()有Ф′(t)=a,b:tf′(x0)f′(x0)2f(x)=f(x0)+(x-x0)+(x-x0)对Ф(t)在[b,a]上,1!2!(h)lna-lnb1ξf·(x0)n=(0<b<<a)+⋯+(x-x0)a-bξn!111其中ξ介于与之间由<<知,即得到xx0aξb例1f(x)∈C2[a,b],且f(a)=f(b)=0,求证:a-baa-b<ln<证毕。max12maxabbaFxFb{|f(x)|}≤(b-a)aFxFb{|f(x)|}8三、拉格朗日定理ξmaxξ证明:设|f()|=aFxFb{|f(x)|},若f()=0,定理3设f(x)∈C[a,b]且在(a,b)内可导,则f(x)≡0此结论自然成立。则存在ξ∈(a,b),使[收稿日期]2005-01-02[作者简介]刘海燕(1976-),女,山东费县人,牡丹江教育学院助教。·14·»(a)-»(b)x(x-1)1»′(ξ)=<(0<x<1)b-asinπxπ例3求证:nyn-1(x-y)<xn-yn<nxn-1sinπx证明:设f(x)=-x(1-x),易见f(0)=f(x-y)(x>y>0)π证明:设f(t)=tnf′(t)=ntn-1(1)=0,只须证明当0<x<1时恒有f(x)>0,为此f(t)在[y,x]上有xn-yn=nξn-1(x-y)只需要研究函数f′(x)及f″(x)的变化情况,我们有:(y<ξ<x)f′(x)=cosπx+2x-1yn-1<ξn-1<xn-1f″(x)=2-πsinπx2即:nyn-1(x-y)<xn-yn<