2006年第2。4期数学通讯41不等式的性质与证明王方汉(武汉市第z3中学，湖北43OO5O)●1本单元知识网络(导)>(÷)o一1；因此a*b>abb。．解法2(取对数后作差比较)因为ln(a*bb)一ln(a~b。)=口ln口+[16—6hu一口h16一(a-b)(1na-lnb)．若口>6，则口一6>0，lna-lnb>O，所以(a-b)(1m—Inb)>0；若a<b。则口一6<O，lna-lnb<O，也有(a-b)(1rm—lrb)>0；都有lrl(a66)一ln(a~b。)>O。因此口>64．重点：不等式的性质；基本不等式；不等式的证明．例2已知函数=√．g()一x+a(a>O)，1)若动点M(，g())到直线x+y=1的最短难点：利用不等式的性质和基本不等式分析和解决问题；不等式的证明．距离为，求n的值；热点；不等式性质的灵活运用．比较大小、判断命2)若不等式I生豸I≤1在∈D,43_1：题的真假；不等式的性质以及基本不等式，解不等式与恒成立．求a的取值范围．函数、数列、方程的综合题．解1)由题意得．动点M(，()。g(z))到直线+注意点：1)不等式“运算”只有加法法则和乘法法1的距离=±。则，没有减法法则和除法法则，但可以利用数的性质来一转化；2)用比较法证明不等式的关键是“变形”与“判断令￡=。则f1>o．于是一￡一符号”；3)基本不等式的主要特征是“和式”≥“积式”，常I(￡+专)。+a一{I、I。一1I‘————一用来证明不等式和求最大值与最小值，使用时要注意声丁’条件“一正．二定，三等”，重要变形形式是aq-b所以当￡一√一0时，：L一√．解得4Z≤a一3或a一一1(舍)．2)I—f(x)-a厂g(x)l≤1甘一1≤≤3典型例题选讲例1比较大小：a*b与n6(n>O,b>0且口≠骨。≤≤2．由题意知≤2在∈[-1,4]6)．分析：比较大小的最常见方法是作差法和作商法．上恒成立．即a．r+口2≤2在∈[1。4]上恒成立．本题可作商后利用幂运算及单调性比较大小．也可取令t一√；，则t≥O，于是一2t+a。≤0在t∈对数后作差比较．t[1．2]上恒成立．设￡)=at。一2t-4-a。。则要使上述结解法l(作商比较法)因为=(詈)。且n论成立，只需解得。<n≤，>0，b>0．a≠2一1)，即满足题意的口的取值范围是0<口≤2若口>6，则>1．口一b>o．所以一1)．4配套练习(车)一>(导)o=1；00选择题若口<6．则0<_a<1。口一b<O．也有1．已知口．6．f．d∈R。且>0．一_￡‘<一粤。则下42数学通讯2006年第2．4期列各式中恒成立的是()(A)<ad．(B)>．求证：1)l<n+6<鲁．2)詈<n2+62<1．(C)旦>b(D)旦<b13．奇函数，()的定义域为R，且在[0，+。。)上是．．fafa增函数．当0≤0≤-“4-时．是否存在实数挑使，(cos202．已知logb<l0gn<log4f．则()(A)>>．(B)2d>2，I>．—3)+，(4m-2tacos0)>，(o)对所有的0∈[o，÷]均(C)>>(D)2>2d>．11成立?若存在，求出适合条件的所有实数m；若不存在．3．已知实数n．b满足等式(÷)“一({)．下列五‘d说明理由．个关系式：配套练习参考答案与提示①O<6<n．②n<6<O．③O<a<6．④6<a<选择题BABABC填空题0．⑤n一6；其中不可能成立的关系式有()7．．矿≥()字．8．[9．+o。)．(A)1个．(B)2个．(C)3个．(D)4个．9．155．10．≥．．1．若0<a<1．下列不等式一定成立的是()解答题(A)Ilogf1，(1一n)I+Ilog(1)(1+n)I>2．l1．B<A<C≤D(B)Ilog(1)(1一a)l<}logcl，(1+n)I．l2．1)令a+b—t，则c一1一t．又a+62+cz一(C)Ilol+咀，(1一n)+log(1，(1+n){<1，故(n+6)一2一l—cz，所以一z=1-(1一t)．ilo戤l(1一n)I+Ilog(h)(1+n)I．2一2t一2<2．(a+b)．3-4t~0．得0<t乏(D)flog(1+)(1一n)一10g(1(1+n)f<}lolh(1一n)I—Ilog(1)(1+n)1．4了‘S．下列结论正确的是()1又由a+6+f一1及a+62+c2=1．可得+(A)当>0且≠l时．1耵+≥2．1gx+m=0，而a>b>c．若c≥O，则++m>O。与前面矛盾，故c<0，即1一t<0