3.2.2奇偶性第1课时函数奇偶性的概念【情境探究】问题1.(1)观察下列两个函数的图象,它们有什么共同特征?(2)上述特征能否用数量间的关系来体现?试着填下表:(3)通过上面对应值表你发现了什么?提示:当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值相等.问题2.(1)观察下列两个函数图象,它们有什么共同特征?(2)上述特征能否用数量间的关系来体现?试着填下表:(3)通过上面对应值表你发现了什么?提示:当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值也是一对相反数.继续探究:问题3.(1)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数吗?提示:反例:f(x)=x2,存在x=0,f(-0)=-f(0)=0,但函数f(x)=x2不是奇函数.(2)存在既是奇函数,又是偶函数的函数吗?提示:存在.例如:f(x)=0,x∈R既是奇函数,又是偶函数.(3)若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数,就是偶函数,这种说法正确吗?提示:错误.函数f(x)=x2-2x,x∈R的定义域关于原点对称,但它既不是奇函数,又不是偶函数.【知识生成】1.偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有___________,那么函数f(x)是偶函数.2.奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有____________,那么函数f(x)是奇函数.3.图象特点偶函数关于____对称;奇函数关于_____对称.关键能力探究【解析】(1)因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x),所以f(x)为偶函数.(2)因为函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0,又因为f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),所以f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)因为函数f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数.(4)f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.当x>0时,-x<0,f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x);当x<0时,-x>0,f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x).综上可知,对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x),f(x)为偶函数.【类题通法】判断函数奇偶性的两种方法:(1)定义法:(2)图象法:【定向训练】1.偶函数y=f(x)的定义域为[t-4,t],则t=________.【解析】偶函数的定义域应当关于原点对称,故t-4=-t,得t=2.答案:22.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x3+x5.(2)f(x)=|x+1|+|x-1|.(3)f(x)=探究点二奇、偶函数的图象【典例2】已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.(1)请补出完整函数y=f(x)的图象.(2)根据图象写出函数y=f(x)的递增区间.(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.【思维导引】(1)偶函数图象关于y轴对称.(2)(3)根据图象直接写出.【解析】(1)由题意作出函数图象如图:(2)据图可知,单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).(3)据图可知,使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(0,2).【互动探究】1.(变问法)本例条件下,y取何值时,有四个不同的x值与之对应?【解析】结合例题解析图可知,满足条件的y的取值范围是(-1,0).2.(变条件)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,如何解答本题?【类题通法】巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性.(2)作出函数在[0,+∞)(或(-∞,0])上对应的图象.(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(-∞,0](或[0,+∞))上对应的函数图象.注意:作对称图象时,可以先从点的对称出发,点(x0,y0)关于原点的对称点为(-x0,-y0),关于y轴的对称点为(-x0,y0).【定向训练】已知函数y=f(x)是偶函数,且图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是()A.4B.2C.1D.0【解析】选D.因为f(x)是偶函数,且图象与x轴有四个交点,所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的,故所有实根之和为0.课堂素养达标2.函数f(x)=-x的图象关于()A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称【解析】选C.函数f(x)=-x是奇函数,其图象关于坐标原点对称.3.已知函数f(x)为R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则