第一专题极限理论中的若干基本方法§1.1用数列极限定义证明问题的基本方法习题1.11.用数列极限定义证明:.2.用数列极限定义证明:.3.用数列极限定义证明:.4.设,用定义证明:.5.设,,用定义证明:§1.2Stolz定理的应用习题1.21.求.(华东师范大学硕士研究生入学试题)2.求.3.设,证明:.(南京大学硕士研究生入学试题)4.设收敛于,且,证明:.(东北师范大学硕士研究生入学试题)5.设满足:,证明:.(四川大学硕士研究生入学试题)§1.3实数连续性公理的应用习题1.31.设,且,证明:收敛.2.设,且,证明:收敛,并求其极限.(华东师范大学硕士研究生入学试题)3.设在单调递减,且非负连续,若,证明:收敛.(清华大学硕士研究生入学试题)4.设正项级数收敛,,且,证明:收敛.(福建师范大学硕士研究生入学试题)5.设,且,,证明:收敛,并求其极限.(武汉大学硕士研究生入学试题)6.设,且,证明:.7.设,且,证明:(1).;(2)..(东北师范大学硕士研究生入学试题)8.设,,,证明:(1).;(2)..(复旦大学硕士研究生入学试题)§1.4柯西收敛准则的应用习题1.41.证明:收敛.2.证明:收敛.3.设,且,用压缩映象原理证明:收敛,并求.4.设,且,用压缩映象原理证明:收敛,并求.§1.5用函数极限定义证明问题的基本方法习题1.51.用定义证明:.2.用定义证明:.3.用定义证明:.4.用定义证明:.5.若,用定义证明:.6.设,且,证明:.7.设,且,证明:.8.设在递增,,且,证明:,其中.§1.6求数列极限的若干基本方法习题1.61.求.2.求.3.求.4.求.5.求.6.求.7.求下列极限(1).;(2)..8..§1.7求函数极限的若干基本方法习题1.71..2.,求.3.,求4.,求.5.,求与.6..7..8..9.设,求.10..(港澳台硕士研究生入学试题)11..(南京大学硕士研究生入学试题)12..(南京大学硕士研究生入学试题)13..(江苏理工大学硕士研究生入学试题)14..(天津大学硕士研究生入学试题)15..(南京大学硕士研究生入学试题)