微积分的创立与发展数04A—2班刘绥乐学号：04105020207数学史上对微积分的总体评价恩格斯在自然辩证法中这样评价：“理论成就中未必再有什么像17世纪下半叶微积分的出现那样，被人看作人类精神的最高胜利了，如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的惟一的功绩，那正是在这里。”微积分的创立远非一二人所为，它经历了漫长曲折的发展，两千年来先后有希腊欧多克索斯穷竭法；阿其米德平衡法；卡瓦列里不可分素法；中国魏晋刘徽割圆术；祖日恒“牟合方盖”，这只是积分学早期的发展，直到17世纪微分学出现，积分学才有突破。17世纪精密科学在社会和生产中获得动力，天文学、力学、光学、工业技术要求数学彻底革新，旗帜是“变量”。因为变量才能研究运动和变化；才能适应科技的要求。新问题导致了无穷小量的问世，从而诞生了数学分析。微分学来源于作曲线的切线和求函数的最大值最小值。这些内容古希腊研究过，但远不及他们研究面积体积弧长深入和广泛。法国数学家罗贝瓦尔(1602—1675)重新讨论曲线的切线：认为点动成线，意大利物理学家托里拆利(1608—1647)也持此观点。另一个给出做切线方法的是笛卡尔，但只限于代数曲线。整个所述都不能形成一般法则，也没有包含产生微分学的可能。真正值得注意的先驱工作是1629年费马利用函数的增量通常在极大或极小值处变得无限小，并据此求极大极小值。虽然方法逻辑不完整，也未区别极大极小值，但却是微分学的起点。他还利用“次切线”给出求曲线切线方法。正是此二问题的研究促进了微分学的出现。费马处理的方法用现代语言讲：都是先取增量，而让增量趋向于零。这正是微分学的实质，也是不同于古典方法的本质所在。费马在求面积过程中，看到了定积分除抽象定义外的大部分概念，但他没有看到运算本身的重要意义，和前人一样：“只是回答具体几何问题”。牛顿、莱布尼兹上升到一般规律，并认为是一种不依赖于任何几何、物理的结构性运算给予特别名称。还有费马求抛物线的重心，此结果在一千九百年前阿基米德早已求出，费马前一世纪康第努和麦洛里克斯重新发现，但费马的贡献在于他第一次采用了相当于今天微分学的方法，而不是类似于积分求和的方法。通常求和得到的结果竟能用求极大极小值得到，实际上已经触及到微分学与积分学的基本联系，但他仍没有意识到推理过程本身的意义。又是牛顿、莱布尼兹从中看到微分学和积分学内在的实质。另一个对微积分作出预言的是巴罗(1630—1677)牛顿的老师。从他在《光学和几何讲义》这本书中已经能够找到非常接近近代微分过程的步骤，而且已经走到微积分基本定理的大门口。但他没有对照起来，说明也没有从一般概念的意义下理解。发展到此创立新学科基本成熟(当然不是今天所学的微积分)，但还需要完善计算法的概念、联系、程序、符号；更需要重建逻辑上一致的严格的基础。牛顿和莱布尼兹各自独立完成了前一要求，创建了微积分。数学史告诉我们只有微积分取得广泛应用和蓬勃发展后才有重建逻辑上一致的严格的可能。此任务由法国分析学家柯西(1789—1857)和19世纪的数学家艰难地完成。牛顿(1643—1727)他最伟大的著作是《自然哲学的数学原理》，证明了天体运动可以由运动定律和引力定律推导出来，取得物理和数学结合的首次巨大成功后，被继承达三百年。他在《曲线求积论》、《流数和无穷级数方法及其对几何曲线的应用》中叙述了数学分析方法与同时代的莱布尼兹著作，共建并完成了无穷小量的经典分析，也就是创立了微积分学。牛顿数学分析是力学概念的反映，他把变量叫流动量，时间是自变量，速度叫流数也就是今天的dx/dt。牛顿求找流动量和流数的关系等价于今天的微分，逆之相当于解微分方程。牛顿还研究了函数的极大极小值，曲线的切线、曲率、拐点凹凸，并给出了代数方程和超越方程实根的近似值求法(现称牛顿法)。牛顿是人类历史上最伟大的数学家之一，像莱布尼兹这样作出杰出贡献的人也评价道：“在从世界开始到牛顿生活的年代的全部数学中，牛顿的工作超过一半”。拉格朗日称他是历史上最有才能的人，也是最幸运的人，因为宇宙体系只能被发现一次。牛顿自己却很谦虚地说：“我不知道世间把我看成什么人；但是对我自己来说，就像一个海边玩耍的小孩，有时找到一块比较平滑的卵石或格外漂亮的贝壳，感到高兴，而在我前面是未被发现的真理的大海。”莱布尼兹(1646—1716)他研究了巴罗的著作之后，意识到微分和积分的互逆关系。在1684年发表的题为《一种求极大值与极小值和切线的新方法，也适用于分式和无理量以及这种新方法的奇妙类型的计算》论文中简明地解释了他的微分学：给出了微分概念及沿用至今的很多计算导数的法则，对极值、切线、曲率、拐点进行了全面地应用。莱布尼兹一生中费了很大精力和时间设计了一套具有独到之处而且精巧、深刻、准确的逻辑符号表达概念和方法。给分析学及以