领先教育培训学校圆锥曲线与方程（2）双曲线1．双曲线定义：在平面内，到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)（为常数）的点的轨迹叫做双曲线．⑴若2＜，则动点P的轨迹是双曲线．⑵若2=，则动点P的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线（在直线F1，F2上）．⑶若2＞，则动点P无轨迹．双曲线的第二定义:平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝的距离之比等于常数e＝(c＞a＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p＝，与椭圆相同.2．双曲线的标准方程：焦点在轴上时，方程为焦点焦点在轴上时，方程为焦点注:（类比勾股定理）双曲线的一般方程：注：方程（均不为0）表示双曲线的条件：方程变形：，考察二次项系数的正负，若与异号，表示双曲线；若同号且,则表示椭圆；若同号且=，则表示圆．3．双曲线的性质：(1)范围：或，．(2)对称性：关于轴、轴、原点对称．(3)顶点坐标：双曲线和轴有两个交点，焦点坐标是．(4)实轴长2、虚轴长2、焦距2；实半轴、虚半轴、半焦距．(5)双曲线的准线方程是，准线到中心的距离为，或令双曲线标准方程-＝1中1为零即得渐近线方程.焦准距：（焦点到对应准线的距离）．通径的长是，通径的一半(半通径)：．(6)渐近线方程是①双曲线渐近线方程：令，即;②渐近线是(或)的双曲线设为．(λ≠0),k是待定系数．③（焦渐距）焦点到渐近线的距离恒为．(7)等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．定义式：．注：①等轴双曲线的渐近线方程为：．②渐近线互相垂直．③等轴双曲线可设为：．（时焦点在轴，时焦点在轴上）(8)离心率是（）越大，开口越开阔；越小，开口越扁狭．(9)半径：若点是双曲线上一点，是其左、右焦点，，即焦半径：点在左支上和．点在右支上和．4．双曲线的内外部(1)在双曲线的内部．(2)在双曲线的外部．5．双曲线系方程(1)双曲线共焦点的双曲线系方程是（）(2)双曲线共渐近线的双曲线系方程可设为．（当时焦点在轴，当时焦点在轴上）．本节学习要求：学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于掌握.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.【重点难点解析】1.学习双曲线的几何性质，也可以与椭圆的几何性质对比进行，着重指出它们的联系和区别.2.本节重点是双曲线的几何性质，双曲线的第二定义及其应用，难点是双曲线的渐近线方程，第二定义，几何性质的应用.