定义1设函数y=f(x)在某区间I内可导，定理1设函数y=f(x)在区间I内的二阶导数f(x)>0，定理2(拐点的必要条件)定理3若f(x0)=0，且在x0两侧f(x)变号，例1讨论曲线f(x)=x3-6x2+9x+1的凹凸区间与拐点．当x=2时，f(x)=0，因f(x)在x=2的两侧变号，而f(2)=3，所以(2,3)是该曲线的拐点.例2讨论曲线y=ln(1+x2)的凹凸区间与拐点.当x(,-1)时，二、函数图形的描绘(1)垂直渐近线1例如，对于曲线来说，所以直线2.函数图形的描绘解该函数的定义域为(-,)，且为奇函数，将上述讨论列为下表：曲线y=3x–x3无水平渐近线和垂直渐近线.例6描绘函数的图形.讨论y，y的正负情况，根据以上讨论，即可描绘所给函数的图形.