微積分屠龍寶刀之導數自控一甲.99812028.鄭家雯我的微積分老師我的老師是一個幽默風趣的人，之前都會認為大學的是一個超級一板一眼的人尤其是理工的老師結果第一天上微積分老師超風趣的，會和我們嘻嘻鬧鬧的但是上課還是會超認真的，偶爾會貫穿一些逗趣的話讓我們笑一笑，上微積分的課不會如此的枯燥。導數的歷史牛頓是最早以點號來表示導數（derivatives），他以v，x，y及z等表示變量，在其上加一點表示對時間之導數，如以表示x對時間的導數。這用法最早見於年頓1665年之手稿。他又於1704年引入符號，，x，，及，其中每一個都是前一個的導數，亦是後一個的原函數。他還以「:」表示z對x的導數。1675年，萊布尼茲分別引入「dx」及「dy」以表示x和y的微分（differentials）。這符號一沿用至今。他在1684年出版的書中，更採用了如下的符號：其中aequ表示「=」，表示(ax)。上式包含了現代微分符號和微分法則。他把導數記作「dx:dy」，而且於1675年，他把導數記作「」，當時以x表示縱坐標，而以y表示橫坐標。除了坐標軸符號的變化外，這符號一直沿用至今。萊布尼茲還以ddv表示二階微分，1694年，約翰．伯努利以dddd表示四階微分，一度流行於十八世紀。直至1797年，貝祖以dx2d(x2)分別表示(dx)2及x2的微分；1802年，拉克魯瓦以d2y及dn分別表示二階微分及n階微分，並且以d2y2表示(d2y)2，一般地，dnym表示(dny)m。這用法一直用至現代。第一個以撇點「'」表示導數的人是拉格朗日（1797年），他以y'表示y對x的一階導數，y"及y"'分別表示二階及三階導數；1823年，柯西同時以y'及表示y對x的一階導數。這用法亦為人所接受，且沿用至今。以一大寫字母「Ｄ」表示導數起源於約翰．伯努利（1706年之前）。1800年，阿博加斯特重申這符號。Ｂ．皮爾斯於1824至1841年間，記：當時以f．x表示現在的f(x)。這一導數符號亦一直用到現在，有時人們稱「Ｄ」為微分算子。導數的定義一般定義設函數在點的某個HYPERLINK"http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E9%82%BB%E5%9F%9F"\o"鄰域"鄰域內有定義，當自變數在處取得增量Δ（點仍在該鄰域內）時，相應地函數取得增量Δ；如果Δ與Δ之比當Δ時的極限存在，則稱函數在點處HYPERLINK"http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%8F%AF%E5%AF%BC"\o"可導"可導，並稱這個極限為函數在點處的導數，記為，即，也可記作，或。若將一點擴展成函數f(x)在其定義域包含的某HYPERLINK"http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E9%96%8B%E5%8D%80%E9%96%93"\o"開區間"開區間I內每一個點，那麼函數f(x)在HYPERLINK"http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E9%96%8B%E5%8D%80%E9%96%93"\o"開區間"開區間內可導，這時對於內每一個確定的值，都對應著f(x)的一個確定的導數，如此一來每一個導數就構成了一個新的函數，這個函數稱作HYPERLINK"http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%8E%9F%E5%87%BD%E6%95%B0"\o"原函數"原函數f(x)的導函數，記作：y'、或者。導函數的定義表達式為：值得注意的是，導數是一個數，是指函數f(x)在點x0處導函數的函數值。但通常也可以說導函數為導數，其區別僅在於一個點還是連續的點。幾何意義如右圖所示，設P0為曲線上的一個定點，P為曲線上的一個動點。當P沿曲線逐漸趨向於點P0時，並且割線PP0的極限位置P0T存在，則稱P0T為曲線在P0處的切線。若曲線為一函數y=f(x)的圖像，那麼割線PP0的斜率為：當P0處的切線P0T，即PP0的極限位置存在時，此時，，則P0T的斜率tanα為：上式與一般定義中的導數定義是完全相同，則f'(x0)=tanα，故導數的幾何意義即曲線y=f(x)在點P0(x0,f(x0))處切線的斜率。函數可導的條件如果一個HYPERLINK"http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%87%BD%E6%95%B0"\o"函數"函數的HYPERLINK"http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9F%9F"\o"定義域"定義域為全體HYPERLINK"http://zh.wikipedia.org/zh