第五章应用微积分5.1预备知识：微积分的基本概念1、极限和连续函数f(x)在点x=x0的导数为若f(x)在x0可导则在x0可微，dy=Adx当f’(x0)>0,函数在x0点附近是上升的；当f’(x0)<0,函数在x0点附近是下降的；当f’(x0)=0,x0为驻点,若x0为驻点且f”(x0)<0(或f”(x0)>0)，则f(x)在x0点达到局部极大（或局部极小）当n=0得，微分中值定理f(x)-f(x0)=f’()(x-x0)其中是x0与x之间某个值设f(x,y)在点(x0,y0)附近有定义，当(x,y)以任何方式趋向于(x0,y0)时，f(x,y)趋向于一个确定的常数A，则函数f(x)在区间[a,b]上的积分定义为5.2数值微积分MATLAB命令1、数值差分q=polyder(p)求得由向量p表示的多项式的导函数的向量表示q；Fx=gradient(F,x)返回向量F表示的一元函数沿x方向的导函数F’(x)，其中x是与F同维数的向量；[Fx,Fy]=gradient(F,x,y)返回矩阵F表示的二元函数的数值梯度(F‘x,F’y),当F为m×n矩阵时,x,y分别为n维和m维的向量；quiver(X,Y,U,V)在(X,Y)平面点上，画(U,V)表示的方向箭头；例：画函数的方向导数图>>xa=-2:0.2:2;ya=-2:0.5:2;[x,y]=meshgrid(xa,ya);>>z=x.*exp(-x.^2-y.^2);>>mesh(x,y,z)>>[px,py]=gradient(z,xa,ya);>>contour(x,y,z),holdon,>>quiver(x,y,px,py),holdofftrapz是最基本的数值积分方法,精度低。z=trapz(x,y)返回积分的近似值，其中x表示积分区间的离散化向量;y是与x同维数的向量,表示被积函数。quad(Fun,a,b)自适应步长Simpson积分法求得Fun在区间[a,b]上的定积分，Fun为M文件函数句柄或字符串内嵌函数z=quadl(Fun,a,b)高精度Lobatto积分法。格式同quad。例：>>z=quad(inline('exp(-x.^2)'),-1,1)>>z=quadl(inline('exp(-x.^2)'),-1,1)z=1.4936z=dblquad(Fun,a,b,c,d)求得二元函数Fun(x,y)的矩形区域重积分，Fun为M文件函数句柄或字符串内嵌函数。a,b为变量x的下上限；c,d为变量y的下上限。z=triplequad(Fun,a,b,c,d,e,f)求得三元函数Fun(x,y,z)的重积分,格式类似dblquad。例2、计算重积分1、数值微分1、数值微分>>clear;x=[11.11.21.3];y=x.^3;dy=diff(y)./diff(x)dy=3.31003.97004.6900当f’(x0)>0,函数在x0点附近是上升的，f’(x0)<0,函数在x0点附近是下降的；函数在x0点达到局部极大(或局部极小)的充分条件是f’(x0)=0且f’’(x0)<0(或f’’(x0)>0)例3、考虑函数f(x)=x2cos(x2+3x-4)在[-2,2]内的图象特征。在[xi-1,xi]上f(x)近似为一直线，用弦线代替，则4、变步长积分法某数学家的学生要送一个特大的蛋糕来庆贺他90岁生日。为了纪念他提出的口腔医学的悬链线模型，学生们要求蛋糕店老板将蛋糕边缘半径作成下列悬链线函数r=2-(exp(2h)+exp(-2h))/5,0<h<1(单位：米)。蛋糕的成本取决于蛋糕的重量和表面积（底面除外），问如何计算重量和表面积？解：设高为H，半径r,比重为k若蛋糕是单层圆盘的，则蛋糕的重量和表面积分别为：W=kHr2S=2Hr+r2若蛋糕是双层的，每层高H/2，下层半径r1,上层半径r2，则W=kH(r12+r22)/2S=H(r1+r2)+r22如果蛋糕是n层的，每层高H/n，半径分别r1,…,rn,则若蛋糕边缘是曲线r=r(h),0<h<H，各层半径近似为ri=r((i-1/2)H/n),i=1,…,n,那么当n，例4、一半径为5m的球形水罐充满了水，底部有一半径为b=0.1m的小孔漏水，问多少时间以后，水面下降至离底部0.5m?考虑在时间dt内水面变化dz，漏水的体积为uAdt=-x2dz其中x为高度z水面的半径,A=b2由于R2=z2+x2得dt=1、计算机的局限性重积分的数值计算可通过单积分组合计算再将[c(xi),d(xi)]区间n等分,hy(i)=(d(xi)-c(xi))/n,yij=c(xi)+jhy(i),则M文