天水师范学院数学与统计学院实验报告实验项目名称多元函数微分所属课程名称高等数学实验实验类型上机实验实验日期2012.04.26班级09数应（2）班学号291010831姓名王东晓成绩一、实验概述：【实验目的】掌握用Mathematica计算多元函数偏导数和全微分的方法，并掌握计算二元函数极值和条件极值的方法；理解和掌握曲面的切平面的作法；3.通过作图和观察，理解方向导数、梯度和等高线的概念．【实验原理】1．求偏导数命令命令D既可以用于求一元函数的导数，也可以用于求多元函数的偏导数．用于求偏导数时，若求对的偏导数，输入D[f[x,y,z],x]若求对的偏导数，输入D[f[x,y,z],y]若求对的二阶偏导数，输入D[f[x,y,z],{x,2}]若求对的混合偏导数，输入D[f[x,y,z],x,y]其余类推．2．求全微分命令Dt该命令只用于求二元函数的全微分时，其形式为Dt[f[x,y]]其输出的表达式中含有Dt[x]，Dt[y]，它们分别表示自变量的微分dx，dy．若函数的表达式中还含有其他用字符表示的常数，例如a，则Dt[f[x，y]]的输出中还会有Dt[a]．若采用选项Constants一>{a}，就可以得到正确结果，即只要输入Dt[f[ｘ，ｙ]，Constants一>{a}]3．在Oxy平面上作二元函数的等高线命令ContourPlot命令ContourPlot的基本形式是ContourPlot[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2}]例如输入ContourPlot[x^2-y^2，{x，-2，2}，{y，-2，2}]【实验环境】在学校所安排的机房上机用Mathematica5.2软件做实验。计算机：二、实验内容：【实验方案】1．求多元函数的偏导数与全微分2．微分学的几何应用3．多元函数的极值4．梯度场【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）1．求多元函数的偏导数与全微分例7.1设，求Clear[z]；z=Sin[x*y]+Cos[x*y]^2；D[z，x]D[z，y]D[z，{x，2}]D[z，x，y]例7.2设，求和全微分Clear[z]；z=(1+x*y)^y；D[z，x]D[z，y]Dt[z]例7.3设，其中是常数，求Clear[z，a]；z=(a+x*y)^y；wf=Dt[z，Constants{a}]//Simplifywf/.{Dt[x，Constants{a}]dx，Dt[y，Constants{a}]dy}例7.4设，求eq1=D[xE^u+u*Sin[v]，x，NonConstants{u，v}]eq2=D[yE^u-u*Cos[v]，x，NonConstants{u，v}]Solve[{eq1，eq2}，{D[u，x，NonConstants{u，v}]，D[v，x，NonConstants{u，v}]}]//Simplify2．微分学的几何应用例7.5求曲面在点处的切平面方程，并把曲面和它的切平面作在同一图形里．Clear[k，z]；k[x_，y_]=4/(x^2+y^2+1)；kx=D[k[x，y]，x]/.{x1/4，y1/2}；ky=D[k[x，y]，y]/.{x1/4，y1/2}；z=kx*(x-1/4)+ky*(y-1/2)+k[1/4，1/2]；qm=Plot3D[k[x，y]，{x，-2，2}，{y，-2，2}，PlotRange->{0，4}，BoxRatios{1，1，1}，PlotPoints30，DisplayFunctionIdentity]；qpm=Plot3D[z，{x，-2，2}，{y，-2，2}，DisplayFunctionIdentity]；Show[qm，qpm，DisplayFunction$DisplayFunction]3．多元函数的极值例7.6求的极值Clear[f]；f[x_，y_]=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x；fx=D[f[x，y]，x]fy=D[f[x，y]，y]critpts=Solve[{fx0，fy0}，{x，y}]fxx=D[f[x，y]，{x，2}]；fyy=D[f[x，y]，{y，2}]；fxy=D[f[x，y]，x，y]；disc=fxx*fyy-fxy^2data={x，y，fxx，disc，f[x，y]}/.critpts；TableForm[data，TableHeadings{None，{"x"，"y"，"disc"，""f}