2010年第02期吉林省教育学院学报No102,2010第26卷JOURNALOFEDUCATIONALINSTITUTEOFJILINPROVINCEVol126(总241期)TotalNo1242收稿日期:2009—12—14作者简介:王悦(1977—),女,辽宁葫芦岛人。渤海船舶职业学院师范教育系,讲师,本科,研究方向:数学教育。浅议“数列极限”概念教学王悦(渤海船舶职业学院师范教育系,辽宁葫芦岛125003)摘要:本文首先引经据典阐述极限思想;然后数形结合,得到数列极限的描述性定义;并由此逐层剖析难点,理解数列极限的“ε-N”定义,揭示定义内涵;最后通过巩固练习,掌握数列极限的证明方法。从而培养学生归纳推理的逻辑思维能力。关键词:极限;数列极限;ε-N中图分类号:O171文献标识码:A文章编号:1671—1580(2010)02—0109—02一、引经据典,阐述极限的思想形成准确概念的首要条件是要有丰富导实?感觉材料密切联系数学概念的现实原型,引导学生分析日常生活和生产实际中常见的事例,找出本质加以抽象,便容易形成准确概念极限概念的教学。为此,可先引经据典,介绍数学史上的小故事,加强学生对极限思想的感性认识并提高学习的趣味性,使学生认识到无限运动变化中无限逼近的极限过程,以及无限逼近时接近值确实存在。例如,我国魏晋时期大数学家刘徽利用圆的内接正多边形来推算圆的面积的方法———割圆术,就是用到极限思想研究几何问题。他首先做圆的内接正六边形,再作圆的内接正十二边形、内接正二十四边形、内接正四十八边形……当边数无限增大时,这一串圆的内接正多边形就无限接近该圆周,这个圆的内接正多边形的面积无限趋近于一个常数,这个常数就是该圆的面积。他说:“割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。”他的这段话可以说是对极限思想的生动描述。割圆术堪称是古代极限思想在几何上的成功应用。又如,我国春秋战国时期《庄子?天下篇》中有一段富于哲理的名句:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”这句话用数量形式加以描述,便得到一个无穷等比数列1,12,122,123…,12n然后启发学生思考由无穷数列{12n}的变化趋势怎样去解释“万世不竭”的含义。通过思考,学生最后得出结论:“12n越来越接近0,但永远不等于0,所以万事不竭。”这些例子说明了我国古代劳动人民早就感知了有限与无限,近似与精确,量变与质变,宏观与微观的差别与联系,同时也孕育了学生的极限思想。二、数形结合,归纳数列极限的描述性定义在讲述数列极限概念时,为使学生看清数列的发展趋势,直观地理解数列中的项以不同的形式趋向极限值,可利用典型例子的直观图示,数形结合,从而归纳数列极限的描述性定义。如数列{1-12n}观察上面图像,同样有b1=1,b2=12,b3=1-123,b4=1-124,…b10=1-1210,…b100=1-12100,…可以看出,当n无限增大时,数列{1-12n}无限趋近于1.通过例子让学生直观的归纳出数列的描述性定义:“如果n无限增大时,数列{an}无限趋近于一个常数A,则称该数列以A为极限,记作limn→∞an=A或an→A(n→∞)901三、分析定义,使数列极限的描述性定义严谨精确给出数列极限的描述性定义后让同学分析给出定义是否严谨精确。通过分析得出前面提到的定义只是一种形象的描述,对于“无限趋近”的描述不精确、不严密,无法进行测量。为解决这一问题,需要引进新的定义方式,在描述性定义的基础上,改进成精确定义。那么怎么定义精确定义呢?首先带领学生研究下面的数列{1+1n},{1-1n},{1+(-1)n1n}的极限。先做出数列的图像,然后由数列极限的描述性定义得出这三个数列的极限都是1。接着由这三个具体数列极限出发引导学生将极限的描述性定义归纳成三点:11随着数列中的项数越来越大,an越来越趋近A21只要它的项数充分大,an可以和A任意接近。31存在这样一个时刻,在这个时刻,an与A接近到某一程度,数列中在这个时刻