三次函数的图象与性质三次函数的图象与性质三次函数的图象与性质三次函数的图象与性质河源市河源中学钟少辉三次函数=是中学阶段一个重要的函数，已经成为高考的高频考点。本文研究了三次函数的图象，并且得到它的几个性质，以及例说性质的应用。已知三次函数：定义域则,。由得（1）依一元二次方程根的判别式知：1.1若，即。则方程（1）必有两个不相等的实根，即三次函数必有两个驻点（这里不妨设），且。由函数极值的判定定理则有：1.a0当,单调递增.当，单调递减.当，单调递增.驻点即为极值点,且在两个驻点中值较小的一个点上取得极大值，在值较大的一个点上取得极小值，且。Ⅱ。情况正好与I相反,在此不再赘述。由以上讨论知：，而由得，因而:,当a〉0,时，，曲线是(向下凹)。时,曲线是（向上凹）。当，时，，曲线是（向上凹),时，曲线是(向下凹）。所以，无论的正负，为曲线拐点的横坐标，且即：曲线拐点的横坐标为两极值点(或二驻点)连线的中点yy通过以上的讨论知：三次函数，当时,其图形的一般形状见图1.xx图1复合型图象1。2若，即,则由，得。故显然，,单调递增。，，单调递减。驻点不是极值点。而由,，得。，时，，曲线是(向下凹)。时，曲线是（向上凹).，时，，曲线是（向上凹),时，曲线是（向下凹）。故对于三次函数，若有且仅有一个驻点，则该点一定是曲线拐点的横坐标，其图形形状见图2。图2单一型图象1。3，即，则由二次函数的性质：,，单调递增。，,单调递减.函数无驻点,也无极值点.由.得，曲线在内是（向下凹），在内是（向上凹）。曲线在内是（向上凹）,在内是（向下凹)。仍是曲线拐点的横坐标.故对于三次函数若时,其图形形头见图3。yxxy图3单一型图象性质1函数，若当是增函数：当时，其单调递增区间是单调递减区间是若是减函数；当时，其单调递减区间是，单调递增区间是.推论函数当不存在极大值和极小值：若当时，有极大值、极小值；若当时，有极大值、极小值.根据和的不同情况，其图象特征分别为:yyyyxxxx性质2函数，若且，则:由函数图象易知，上的最值出现在处性质3任何三次函数曲数都存在唯一拐点，并且曲线关于拐点对称，即经坐标变换后,都可以将曲线所表示的函数化为奇函数。证明为方便起见，不妨设。求导，得令，得，将代入，得当时,；当时，点是的唯一拐点。作代换，代入原曲线方程得,.它是一个关于为坐标系的奇函数，该函数表示的曲线对称于点，即原曲线关于拐点对称.推论函数是中心对称图形，其对称中心是()证明设函数的对称中心为(m，n)。按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以，化简得上式对恒成立，故3ma+b=0，m=.所以，函数的对称中心是(），可见，图象的对称中心在导函数的对称轴上，且又是两个极值点的中点。性质４直线与三次函数图象相切，切点唯一。证明设三次函数。曲线在点处的切线方程为：即，假设与曲线相切，切点不唯一。不妨设与曲线相切于点，,其中。所以①②由于，由①得即③由②得④将③代入④得，所以，与假设矛盾.所以原命题得证！性质５三次函数图象上任一点的切线存在情况。设是图象上任一点，过点P的切线有以下两种情况：（1）以点为切点的切线有一条。方程为；(2）以不同于点的点为切点并过点的切线，方程为因切线过点，所以,化简得：,,当时,解得（舍去），即时这种切线不存在;当时，解得（舍去）,,即时这种切线存在1条。于是有:当点是拐点(即）时，过点的切线有且仅有1条,即以点为切点的切线；当点不是拐点（即)时,过点的切线有且仅有2条,且它们的切点分别为点和点M.例1.2010年高考湖北卷文科压轴题第21题：设函数，曲线在处的切线方程为.（1）确定b,c的值;（2）设曲线在点及处的切线都过点（0，2）。证明：当时,.解（1)略（2）由，得由于点(）处的切线方程为而点（0。2）在切线上,所以2化简得即t满足的方程为下面用反证法证明:假设,由于曲线在点处的切线都过点（0。2）,则下列等式成立：①②③由③得由①—②得④又故由④得，此时与矛盾。所以。例２已知在上是增函数,在［0.2]上是减函数，且方程有三个根,它们分别为。(1）求的值;(2）求证:（3）求的取值范围。解(1),由题意可得:为的极值点,.(2）令，得，在上是增函数，在［0.2]上是减函数，.即.又(3）方程有三个根设，由待定系数法得,为方程的两根,:=。例３已知函数(1）若的图象有与轴平行的切线，求的取值范围：(2)若在时取得极值，且时，恒成立，求的取