函数的基本性质复习教学目标：函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性教学过程一、单调性1．定义：对于函数y?f(x)，对于定义域内的自变量的任意两个值x1,x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)(或f(x1)?f(x2))，那么就说函数y?f(x)在这个区间上是增（或减）函数。2．证明方法和步骤：（1）设元：设x1,x2是给定区间上任意两个值，且x1?x2；（2）作差：f(x1)?f(x2)；（3）变形：（如因式分解、配方等）；（4）定号：即f(x1)?f(x2)?0或f(x1)?f(x2)?0；（5）根据定义下结论。3．二次函数的单调性：对函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)，b的左侧单调减小，右侧单调增加；2ab当a?0时函数f(x)在对称轴x??的左侧单调增加，右侧单调减小；2a当a?0时函数f(x)在对称轴x??例：讨论函数f(x)?x2?2ax?3在(-2,2)内的单调性。4．复合函数的单调性：复合函数y?f(g(x))在区间(a,b)具有单调性的规律见下表：y?f(u)增↗增↗增↗减↘减↘减↘增↗减↘减↘增↗u?g(x)y?f(g(x))以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。例：函数y?x2?2x?3的单调减区间是（B.[?1,??)）C.(??,?1]D.[1,??)A.(??,?3]5．函数的单调性的应用：判断函数y?f(x)的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。例1：奇函数f(x)在定义域(?1,1)上为减函数，且满足f(1?a)?f(1?a2)?0，求实数a的取值范围。例2：已知f(x)是定义在?0,???上的增函数，，且f(2)?1，f(xy)?f(x)?f(y)，（1）求f(1),f(4)；（2）满足f(x)?2?f(x?3)的实数x的范围。二、奇偶性1．定义：如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(?x)?f(x)，那么函数f(x)就叫偶函数；如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(?x)??f(x)，那么函数f(x)就叫奇函数。2．奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。若函数f(x)为奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)?0；3．判断一个函数的奇偶性的步骤⑴先求定义域，看是否关于原点对称;⑵再判断f(?x)??f(x)或f(?x)?f(x)是否恒成立。1?x2例：判断函数f(x)?的奇偶性。x?2?2分析：解此题的步骤（1）求函数的定义域；（2）化简函数表达式；（3）判断函数的奇偶性奇偶性的定义的等价形式：对不易找到函数f(?x)与?f(x)关系时，常用以下等价形式：f(?x)??f(x)?f(?x)?f(x)?0；f(?x)?f(x)?f(?x)?f(x)?0。当f(x)?0时，也可用f(?x)??1来判断。f(x)4．奇偶函数图象的性质奇函数的图象关于原点对称。反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数。偶函数的图象关于y轴对称。反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数。应用：①.判断函数的奇偶性。②.简化函数图象的画法。例:作出函数y=x-2|x|-3的图象。25．常用结论：(1)奇偶性满足下列性质：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。(2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性。3例:设f(x)是R上的奇函数，且当x?(??,0)时，f(x)?x(1?x)，求当x?(0,??)时f(x)的解析式。两个非零函数f(x),g(x)的定义域都为R，“f(x),g(x)都是偶函数”“f(x)?g(x)则是为偶函数”的条件。例3：已知：函数f(x)定义在R上，对任意x，y∈R，f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y)有且f(0)?0。(1)求证：f(0)?1；(2)求证：f(x)是偶函数；例4：判断下列函数的奇偶性：（1）（3）x?222（2）f(x)?1?x?x?1x?211f(x)?x(x?)（4）f(x)?2x?13?12f(x)?log3例5：设函数y?f(x)的定义域为D????,0???0,???，且对任意的x1,x2?D都有（1）求f(1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性，并加以证明。f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)。课后专练1.若f(x)的定义域为R，对任意a,b?R有f(a?b)=f(a)?f(b),当a?0时f(a)?0且f(2)?1(1)判断f(x)在R上的单调性；（2）若f(x)?f(?3x)?2，求x的取值范围。22.已知函数y