第3讲函数与方程的应用1．(2012·高考湖北卷)函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为()A．4B．5C．6D．7解析：根据x2的范围判断y＝cosx2在区间[0,4]上的零点个数，当x＝0时，f(x)＝0.又因为x∈[0,4]，所以0≤x2≤16.因为5π1时，y＝x>1，y＝cosx≤1，所以两图象只有一个交点，即方程x－cosx＝0在[0，＋∞)内只有一个根，所以f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内只有一个零点．答案：13．(2012·高考天津卷)已知函数y＝|x2－1|x－1的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．解析：先去掉绝对值符号，在同一直角坐标系中作出函数的图象，数形结合求解．根据绝对值的意义，y＝|x2－1|x－1＝x＋1x＞1或x＜－1，－x－1－1≤x＜1.在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0＜k＜1或1＜k＜4时有两个交点．答案：(0,1)∪(1,4)热点一函数零点的判定函数f(x)＝ex－x－2，x≥0，x2＋2x，x0，所以当x≥0时，函数f(x)有且只有一个零点．综上，函数f(x)只有两个零点．故选C.[答案]C[规律方法]确定函数零点存在区间及个数的常用方法：(1)利用零点存在的判定定理．(2)利用数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的绝对值、分式、指数、对数以及三角等方程多以数形结合法求解．1．(2012·济南模拟)偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝x，则关于x的方程f(x)＝110x在x∈[0,4]上解的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：根据f(x－1)＝f(x＋1)可得函数f(x)的周期为2，根据函数f(x)是偶函数以及f(x－1)＝f(x＋1)可得f(1－x)＝f(1＋x)，所以这个函数的图象关于直线x＝1对称．根据函数f(x)在[0,1]上的解析式可以画出函数f(x)在[0,4]上的图象，结合图象可得函数f(x)＝110x在[0,4]上有4个解．答案：D热点二函数与方程的综合应用(2011·长沙模拟改编)已知f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)在其定义域内的单调性；(3)若f(x)在(1，＋∞)上存在零点，求a－b的取值范围．[思路点拨]求定义域转化为解指数不等式，判断单调性可用单调性定义，当f(x)的图象在(1，＋∞)上与x轴有交点时，求a－b的范围．[解析](1)由ax－bx>0，∴abx>1.∵ab>1，∴x>0，∴f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2)设x2>x1>0，∵a>1>b>0，∴ax2>ax1，bx1>bx2，－bx2>－bx1，∴ax2－bx2>ax1－bx1>0，∴ax2－bx2ax1－bx1>1，∴f(x2)－f(x1)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)由于f(x)在(0，＋∞)上是增函数，要使f(x)在(1，＋∞)上存在零点，只有f(1)0)户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高2x%，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入将为3a－3x50(a>0)万元．(1)在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前从事蔬菜种植的农民的总年收入，求x的取值范围．(2)在(1)的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求a的最大值．[思路点拨](1)根据题意可以列出一元二次不等式，解此不等式即得要求的范围；(2)可以转化为不等式的恒成立问题加以处