§1引言代数方程求根问题是一个古老的数学问题，早在16世纪就找到了三次、四次方程的求根公式。但直到19世纪才证明次的一般代数方程式不能用代数公式求解。因此需要研究用数值方法求得满足一定精度的代数方程式的近似解。在工程和科学技术中许多问题常常归结为求解非线性方程式问题，例如在控制系统的设计领域，研究人口增长率等。例1关于真实气体的状态方程为其中，P是气体压力，V是气体体积，T是绝对温度，R是气体常数。如果已知某气体的温度T及压力P，那么求体积V的方程为：或本章将介绍这种类型方程的近似解的数值方法。设有一非线性方程其中为实变量的非线性函数。定义1（1）如果有使，则称为方程（1.3）的根，或称为函数的零点。（2）当为多项式时，即方程为称为n次代数方程。当包含指数函数或三角函数等特殊函数时，称为超越方程。（3）如果，其中，m为正整数，则称为的m重根。当m=1时称为的单根。先叙述两个基本定理。定理1（代数基本定理）设为具有复系数的n次代数方程，则于复数域上恰有n个根（r重根计算r个）。如果为实系数代数方程，则复数根成对出现，即当是的复根，则亦是的根。定理2(零点定理）（1）设于上连续：（2）且，则存在有使即于内存在实的零点。设有非线性实系数方程问题是：需要求出方程的所有实根（或复根）。§2二分法设有非线性方程其中，为上连续函数且设（不妨设方程（2.1）于内仅有一个实根。求方程（2.1）实根的二分法过程，就是将含根区间逐步分半，检查函数符号的变化，以便确定含根的充分小区间。二分法叙述如下；记（图1）第一步分半计算（k=1）:将分半，计算中点及，如果则根一定在区间内，否则根一定在区间内（若，则）。于是得到长度缩小一半的含根区间，即第k步分半计算：重复上述过程，设已完成第1步，，第k-1步分半计算得到含根区间且满足；（1）即；（2）；现在进行第k步分半计算；（3）计算且有（2.2)例3用二分法求于内一个实根，且要求精确到小数后第3位（即要求）。显然，。解由，由公式（2.3）可确定所需分半次数。计算结果如下表(表1)。二分法优点是简单，且对只要求连续即可。可用二分法求出于内全部实根。但二分法不能求复数及偶数重根。二分法框图（图2）：二分法：设有方程，其中于连续，且满足条件（且设于内只有一个实根）。（1）计算（2）如果或则输出（3）如果则否则其中表示给定的最大分半次数，当或时分半终止，为一大数。输入a,b,ε1,ε2§3迭代法一、迭代法的定义迭代法是一种逐次逼近法。它是求解代数方法，超越方程及方程组的一种基本方法，但存在收敛性及收敛快慢问题。为了用迭代法求非线性方程的近似值，首先需要将此方程转化为等价的方程显然，将转化为等价方程（3.1）的方法是很多的。例4方程可用不同方法转化为等价方程（a）（b）定义2（迭代法）设方程为选取方程的一个初始近似，且按下述逐次代入法，构造一近似解序列:(3.2)显然在由方程转化为等价的方程时，选择不同的迭代函数就会产生不同的序列（即使初始值选择一样），且这些序列的收敛情况也不会相同。例5对例4中方程，考查用迭代法求根（a）（b）由计算看出，选取的两个迭代函数分别构造序列收敛情况不一样（初始值都为1.0)，在(a)种情况收敛且。在(b)种情况出现计算无定义。因此，对于用迭代法求方程近似根需要研究下述问题：（1）如何选取迭代函数使迭代过程收敛。（2）若收敛较慢时，怎样加速收敛。三、迭代法的几何意义从几何上解释，求方程根的问题，是求曲线与直线交点的横坐标。当迭代函数的导数在根处满足下述几种条件时，从几何上来考查迭代过程的收敛情况如图3。从曲线上一点出发，沿着平行于x轴方y方向前进交于一点，再从点沿平行于y轴方向前进交于点，显然，的横坐标就是。继续这过程就得到序列，且从几何上观察知在（1）（2）情况下收敛于，在（3）（4）情况不收敛于。由迭代法的几何意义可知，为了保证迭代过程收敛，应该要求迭代函数的导数满足条件，当。四、迭代法的收敛性判定及误差估计1、大范围收敛性定理3设有方程（1）设于一阶导数存在；（2）当时有；（3）满足条件：。则（a）在上有唯一解；（b）对任意选取初始值，迭代过程收敛，即；(c)其中c在与之间，于是即证(d)反复利用(3.6)，可得由定理3结果(3.3)可知，当计算得到的相邻两次迭代满足条件(3.7)时，则误差所以在电算时可利用来控制迭代中止，但是要注意，当时，即使很小，但误差还可能较大。当已知及给定精度要求时，利用(3.4)可