..精品精品.精品普通高中课程标准实验教科书数学（人教A版）选修2-32.4正态分布设计教师：高二数学组一、教学目标及其解析（一）教学目标：1.通过正态曲线的图象认识正态曲线，通过正态曲线了解正态分布．2．了解正态曲线的基本特点．3．了解正态曲线随着参数μ和σ变化而变化的特点．了解正态分布的3σ原则．（二）解析：正态分布在统计中是很常见的分布，它能刻画很多随机现象。从生活实践入手，描绘频率直方图，进而理解正态曲线，结合定积分的有关知识理解其概率分布列，结合图象认识参数μ，σ的几何意义．提高学生用数学知识分析现实问题的能力．善于从复杂多变的现象中发现问题的实质，提高识别能力.二、教学重难点解析（一）重点、难点：重点：了解正态曲线随着参数μ和σ变化而变化的特点．了解正态分布的3σ原则．难点：通过正态曲线的图象认识正态曲线，通过正态曲线了解正态分布．（二）解析：正态分布密度函数的推导是十分困难的，一般教科书采用直接给出正态分布密度函数表达式的方法，这使学生在很长一段时间是不理解正态分布的实际含义。可以通过直观方法引入正态分布密度曲线，也可以用样本平均值和样本标准差来估计，正态曲线的特点包括图像与坐标轴之间的关系，单峰性，对称性，峰值的位置环境等。三、教学过程设计问题1.什么是正态曲线？问题2.什么是正态分布?正态分布又有哪些特点？例1.如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机总量的均值和方差．[解]从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为eq\f(1,2\r(π))，所以μ＝20，eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,2\r(π))，∴σ＝eq\r(2).于是φμ，σ(x)＝eq\f(1,2\r(π))·eeq\s\up5(－eq\f(x－20eq\s\up3(2),4))，x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(eq\r(2))2＝2.方法归纳本题主要考查正态曲线的图象及性质特点，其具有两大明显特征：1.对称轴方程x＝μ；2.最值eq\f(1,σ\r(2π)).这两点把握好了，参数μ，σ便确定了，代入φμ，σ(x)中便可求出相应的解析式．变式训练1.如图，曲线C1：f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ\o\al(2,1))eeq\s\up5(eq\s\up5(eq\f(-x－μeq\s\up3(2),2σeq\s\up5(2))))(x∈R)，曲线C2：φ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ2)e－eq\s\up5(eq\s\up5(eq\f(x－μeq\s\up3(2),2σeq\s\up5(2))))(x∈R)，则()A．μ1<μ2B．曲线C1与x轴相交C．σ1>σ2D．曲线C1，C2分别与x轴所夹的面积相等解析：选D.由正态曲线的特点易知μ1>μ2，σ1<σ2，曲线C1，C2分别与x轴所夹面积相等，故选D.例2.设X～N(1,22)，试求：(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)．[解]因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826.(2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3≤X＜－1)，所以P(3＜X≤5)＝eq\f(1,2)[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]＝eq\f(1,2)[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]＝eq\f(1,2)(0.9544－0.6826)＝0.1359.方法归纳对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知：(1)对任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)；(2)P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)；(3)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．变式训练2.在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在区间(－1,1)内取值的概率．解：∵由题意知μ＝1，σ＝2，∴P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2)＝0.6826.又∵密度函数关于直线x＝1对称，∴P(－1<X<1)＝P(1<X<3)＝eq\f(1,2)P(－1<X<3)＝0.3413.例3.某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于60分的学生为不及格学生．(1)成绩不及格的人数占多少