第八章方差分析第八章方差分析对于工农业生产的每一种产品，影响它们指标的因素都是众多的。了解哪些因素对产品质量或产量等指标有显著影响对于管理者来说显然很有意义。检验某个（或某些）因素对产品指标有无显著影响就是检验在这个（或这些）因素的作用下，产品指标的均值是否相等（即在统计意义上相等）。我们要了解哪些因素对产品有影响就要进行试验，取得试验结果（数据），然后进行分析。进行试验（实验）时，我们称可控制的试验条件为因素(Factor)，因素变化的各个等级为水平（Level）。如果在试验中只有一个因素在变化，其它可控制的条件不变，称其为单因素试验；若试验中变化的因素有两个或两个以上，则称为双因素或多因素试验。根据试验结果，怎样找出有显著作用的因素，以及找出在怎样的水平和工艺条件下能使指标最优以达到优质和高产的目的，这就是方差分析（AnalysisofVariance简称ANOVA）所要解决的问题。8.1方差分析的原理我们通过例题来说明方差分析的基本统计思想。[例8.1]某公司计划引进一条生产线。为了选择一条质量优良的生产线以减少日后的维修问题,他们对6种型号的生产线作了初步调查,每种型号调查4条,结果列于表8-1。这些结果表示每个型号的生产线上个月维修的小时数。试问由此结果能否判定由于生产线型号不同而造成它们在维修时间方面有显著差异?表8－1对6种型号生产线维修时数的调查结果序号1234型号A型9.58.811.47.8B型4.37.83.26.5C型6.58.38.68.2D型6.17.34.24.1-121-第八章方差分析E型10.04.85.49.6F型9.38.77.210.1在这里,我们所研究的指标就是维修时间,记作Y,通常假定它是一个服从正态分布的随机变量。控制因素是生产线的型号,分为6个水平即A,B,C,D,E,F，把每个水平所对应的指标看成一个总体Y(i=1,2,???,6)。现i在的试验就是进行调查,每种型号调查4条,相当于每个总体中抽取一个容量为4的样本,得到的数据记作y(i=1,2,…,6;j=1,2,3,4),即为表8-1中ij数据。计算各样本平均数y如下:i型号ABCDEF?9.45.57.95.47.58.8yi要想比较各种型号生产线的维修时间是否显著相等，可以用第六章中两个总体平均值比较的检验法,把样本平均数两两组成对:??????????y与y,y与y,…y与y,y与y,…,y与y,共有12131623562(C=15)对。将这15对平均数一一进行比较检验,工作量显然比只有两个6样本的情况繁重的多。此外即使每对都进行了比较,并且都以0.95的置信度得出每对均值都相等的结论,但是由此要得出这6个型号的维修时间的均值15都相等。这一结论的置信度仅是(0.95)=0.4632.对假设检验来说，这个置信度太小了,这样的方法是不能采用的。所以当我们比较两个以上的样本平均数,检验这些样本是否来自同一总体时,还需要另外的方法.按照统计假设检验的原理,在上例中原假设是：不同型号的生产线平均维修时间是相同的。如果这个原假设为真,那么各型号的样本平均数之间的变异程度就不可能太大。因此我们考虑应该使用方差或观测值的偏差平方和的概念来进行检验。方差分析的基本原理依据的就是上述统计思想,即：(1)将数据总的偏差平方和按照产生的原因分解成由因素的水平不同引起的偏差平方和以及由试验误差引起的偏差平方和两部分,(总的偏差平方和)=(由因素水平引起的偏差平方和)+(试验误差平方和)-122-第八章方差分析(2)上式右边两个平方和的相对大小可以说明因素的不同水平是否使得各平均值(各型号的平均维修时间)产生显著性差异,为此需要进行适当的统计假设检验。8.2单因素试验的方差分析8.2.1数学模型和数据结构在单因素试验中,为了考察因素A的k个水平A,A,...,A对指标Y的12k影响(如第k种型号对维修时间的影响),设想在固定的A条件下作试验。所i有可能的试验结果组成一个总体Y,它是一个随机变量.可以把它分解为两i部分Y=μ+ε（8-1）iii其中,μ纯属A作用的结果,称为在A条件下Y的真值(也称为在Aiiiii条件下Y的理论平均).ε是实验误差(也称随机误差),是服从正态分布的ii随机变量.如果在独立地进行试验过程中,除A,A,...,A不同外,其余条件12k均不变,那么ε,ε,…,ε就应该是独立同分布的随机变量.即12k2ε~N(0,σ)(8-2)i2因为E(Y)=μ,D(Y)=D(ε)=σ,iiii2故Y~N(μ,σ)ii2其中,μ和σ都是未知参数(i=1,2,…,k).i为了估计和检验上述参数,就要做重复试验.假定在水平A下重复做mi次试验,得到观测值Y,Y,...,Y(为方便起见,辉儆胄⌒醋帜竔1i2imy,y,..,y加以区别