第八章多元函数积分学第一节二重积分的概念与性质柱体体积=底面积×回忆定积分.求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法．设有一立体.其底面是xy面上的区域D,其侧面为母线平行于z轴的柱面,其顶是曲面z=f(x,y)0,连续.称为曲顶柱体.(i)用曲线将D分成n个小区域D1,D2,…,Dn,(ii)由于Di很小,z=f(x,y)连续,小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体.(iii)因此,大曲顶柱体的体积(iv)求曲顶柱体体积的方法：步骤如下：２．求平面薄片的质量二、二重积分的概念积分区域对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，性质１性质３性质６解二重积分的定义思考题定积分与二重积分相同之处：都表示某种和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是:定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数;二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．第二节二重积分的计算法（1）先讨论积分区域为：32积分区域为：如果积分区域为：1.若D既是x—型区域,又是y—型区域.2.（1）如果积分区域是矩形设D：axb,cyd.f(x,y)=f1(x)·f2(y)可积，比如，若区域如图，4.设D:y1(x)yy2(x),axb,为x—型区域.例1将解2：例2计算于是，例3解解于是，解50解例9.求由例8，例9知，选择适当的积分顺序，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试。1.55x572.所以,原式=3.改换第二节二重积分的计算（2）一、利用极坐标系计算二重积分二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（２）极坐标系下区域的面积例1将1）2）3）4）解解例4.求另由几何意义：解777879二重积分在极坐标下的计算公式5利用极坐标计算二重积分D：由所围成区域（第一象限部分）838485第三节二重积分的应用一、立体的体积例1计算由曲面立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为所求立体的体积例2求两个圆柱面它的底为三、平面薄片的重心解95计算97例：计算广义积分其中S:0yR,0xR令R+，上式两端的极限均为