附录矩阵和线性方程组简介一个m×n型矩阵A也可记为，或A=()空间中一个(行)向量可看成一个1×3型矩阵一个m×n型矩阵可写成行向量，其分量为列向量：其中相应地，A也可写成列向量，其分量为行向量。由方阵A的元素(位置不变)所构成的行列式记为|A|，称为A的行列式。定义2如果两个m×n型矩阵的相应元素相等，即则称矩阵A与B相等，记为A=B。元素全为0的矩阵，叫零矩阵。如果一个n阶方阵主对角线上的元素都是1，其它元素是0，称为n阶单位矩阵，我们用E来表示，即主对角线以外的元素全为0的n阶方阵称为对角阵，即定义3把m×n型矩阵的行与列互换得到的n×m型矩阵称为A的转置矩阵，记为即根据定义显然有定义4如果n阶方阵满足即，则称方阵A为对称矩阵。2.矩阵的运算定义5两个m×n型矩阵与的和为设A，B，C都是m×n型矩阵，那么矩阵的加法满足：定义6数与矩阵的乘积为设A,B均为m×n型矩阵，为任意的数，则有定义7设那么，叫做A与B的乘积，记为C=AB。当两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。矩阵的乘法不满足交换律，即一般地矩阵的乘法有以下性质：如果A,B为同阶方阵，C=AB,则|C|=|A||B|.3.矩阵的逆定义8n阶行列式中元素的代数余子式是D中划去所在的第i行和第j列以后所剩下的n-1阶行列式乘以，即定理1对于n阶行列式D,成立及即行列式D等于它的任一行(列)的各元素与其对于的代数余子式的乘积之和,而D的某一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和为0.当n=3时,该定理有明显的几何意义.设行列式在直角坐标系下,显然三向量的混合积为因为所以定义9对于n阶方阵A,如果存在n阶方阵B,使AB=BA=E,则称A是可逆的,B是A的逆矩阵,用表示,即由逆矩阵的定义可得定理2设n阶方阵的行列式则A是可逆的,逆矩阵为其中,是|A|中元素的代数余子式.4.正交矩阵定义10对n阶实矩阵如果则称A是正交矩阵.显然,A为正交矩阵等价于或其中换句话说,A是正交矩阵的充要条件是:A的每一行各元素的平方和为1,而任意不同两行的对应元素乘积之和为0.由于因此A为正交矩阵也等价于5.矩阵的秩定义11在m×n矩阵A中任取k行和k列,位于这些选定的行列交叉处的元素按原来的次序所组成的k阶行列式,称为A的一个k阶子式.在此定义中,当然有定义12如果m×n矩阵A中有一个r阶子式不为零,所有的r+1阶子式全为零,则称A的秩为r,记为r(A).例如,矩阵A的二阶子式而A的所有3阶子式全为0,因此r(A)=2.6.线性方程组有解判别定理设线性方程组为(1)线性方程组的系数组成的矩阵A称为线性方程组(1)的系数矩阵.把自由项添加到A中构成的矩阵B称为线性方程组的增广矩阵.如果自由项则线性方程组称为齐次线性方程组.齐次线性方程组一定有解,因为是其解,此解称为零解;不全为零的解称为非零解.我们有以下判别定理:定理3线性方程组(1)有解的充要条件是r(A)=r(B)。进一步，当r(A)=r(B)=n时,线性方程组的解唯一；当r(A)=r(B)<n时，线性方程组的解有无穷多。特别地当m=n时,有以下克莱姆法则:定理4当m=n时,(i)如果r(A)=n(即),那么线性方程组(1)有唯一解;(ii)齐次线性方程组有非零解当且仅当|A|=0.当m=n=3时,(i)我们有以下的几何解释:如果r(A)=r(B)=3,那么线性方程组(1)有唯一解,即三个方程所表示的三个平面交于一点。如果r(A)=r(B)=2,那么线性方程组(1)有无穷多解,此时,所有解构成的集合是空间中的一条直线,即三个平面相交于一条直线,也就是说三个平面是经过同一条直线的平面束中的三个。如果r(A)=r(B)=1,那么线性方程组(1)有无穷多解,此时,所有解构成的集合是空间中的一个平面,即三个平面相交于一平面,也就是说三个方程表示同一平面.如果那么线性方程组(1)无解,即三个方程所表示的三个平面没有公共的交点。7.实对称矩阵的对角化设A是n阶方阵，X表示n维向量为实数。定义13如果有非零向量X满足方程（2）则称是矩阵A的一个特征值，X是关于特征值的一个特征向量。显然对于非零数k,kX也是关于特征值的一个特征向量。将方程（2）写成（3）由于方程组（2）或（3）有非零解，那么由克莱姆法则知道（4）方程（4）称为矩阵A的特征方程，A的所有特征值从特征方程中可解得。定义14设A,B均为n阶方