第4讲数列的通项的求法★热点考点题型探析★考点求数列的通项公式题型1利用公式法求通项【例1】已知为数列的前项和，求下列数列的通项公式：⑴；⑵.【解题思路】已知关系式，可利用，这是求数列通项的一个重要公式.【解析】⑴当时，，当时，.而时，，.⑵当时，，当时，.而时，，.【名师指引】任何一个数列，它的前项和与通项都存在关系：若适合，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.题型2应用迭加（迭乘、迭代）法求通项【例2】⑴已知数列中，，求数列的通项公式；⑵已知为数列的前项和，，，求数列的通项公式.【解题思路】⑴已知关系式，可利用迭加法或迭代法；⑵已知关系式，可利用迭乘法.【解析】⑴方法1：（迭加法），方法2：（迭代法），，.⑵，，当时，.【名师指引】⑴迭加法适用于求递推关系形如“”；迭乘法适用于求递推关系形如““；⑵迭加法、迭乘法公式：①②.题型3构造等比数列求通项【例3】已知数列中，，求数列的通项公式.【解题思路】递推关系形如“”是一种常见题型，适当变形转化为等比数列.【解析】，是以为公比的等比数列，其首项为【名师指引】递推关系形如“”适用于待定系数法或特征根法：①令；②在中令，；③由得，.【例4】已知数列中，，求数列的通项公式.【解题思路】递推关系形如“”适当变形转化为可求和的数列.【解析】方法1：，，令则，方法2：，，令则，转化为““（解法略）【名师指引】递推关系形如“”通过适当变形可转化为：“”或“求解.【例5】已知数列中，，求数列的通项公式.【解题思路】递推关系形如“”可用待定系数法或特征根法求解.【解析】令由或，数列是等比数列，.【名师指引】递推关系形如“”，通过适当变形转化为可求和的数列.【新题导练】1.已知为数列的前项和，，求数列的通项公式.【解析】当时，，当时，.是以为公比的等比数列，其首项为，2.已知数列中，，求数列的通项公式.【解析】由得，.3.⑴已知数列中，，求数列的通项公式；⑵已知数列中，，求数列的通项公式.【解析】⑴，；⑵令，得，，4.已知数列中，，求数列的通项公式.【解析】，，令数列是等差数列，，.5.（2008全国Ⅱ卷理节选）设数列的前项和为，已知，设，求数列的通项公式．【解析】依题意，，即，由此得，6.(2008广东文节选)已知数列中，，求数列的通项公式.【解析】由得又，所以数列是以1为首项，公比为的等比数列，．★抢分频道★基础巩固训练1.若数列的前项和（，且），则此数列是()等差数列等比数列等差数列或等比数列既不是等差数列，也不是等比数列【解析】C.，当时，，是等差数列；且时，是等比数列．选C.2.数列中，，则数列的通项()【解析】,使用迭乘法，得3.数列中，,且，则()【解析】由，得，，4.设是首项为1的正项数列，且，则数列的通项.【解析】5.数列中，，则的通项.【解析】由，得6.数列中，，则的通项.【解析】由，得，综合拔高训练7.数列中，，求数列的通项公式.【解析】，，.数列是以2为公比的等比数列，其首项为8.已知数列中，，求数列的通项公式.【解析】，.数列是以3为公比的等比数列，其首项为，.令，则，，.