数列通项公式的常用求法数列的通项公式是指一个数列的第n项（即）与项数n之间的函数关系。数列的通项公式是数列的核心,求通项公式就是求离散函数的解析式,是数列学习中常见而又重要的类型。问题中渗透着函数与方程、转化与归纳、分类讨论等数学思想，通常把数列的有关问题化归为等差、等比这一类特殊数列的问题。下面例析几类求数列的通项公式的常用方法。一．观察法（又叫猜想法，不完全归纳法）：观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，归纳出构成规律从而写出通项公式。例1、根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…；（2）3，5，9，17，…；（3）…；（4）…解：（1）变形为：，，，，…。∴通项公式为（2）（3）（4）.点评：观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系。注意：不完全归纳法只从数列的有限项来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠的，如2，4，8，……，可归纳成，或者两个不同的数列。另外有的数列没有通项公式，如：3，π，e，6…。二、公式法：例2、设是等差数列，，已知，求等差数列的通项.解：设的公差为，则，由题设有，故，又因，得解得代入解之得..当时，通项;当时，通项.点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差或公比。三、迭加法（又叫加减法，逐加法）：当所给数列每依次相邻两项之间的差组成等差或等比数列时，就可用迭加法进行消元。例3、已知数列中，求数列的通项公式。解：点评：一般地，对于型如类的通项公式，只要能进行求和，则宜采用此方法求解。四、迭乘法：当一个数列每依次相邻两项之商构成一个等比数列时，就可用迭乘法进行消元。例4、在数列中，=1,(n+1)·=n·，求的表达式。解：由(n+1)·=n·得，=··…=所以点评：一般地，对于型如=(n)·类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。五、定义法：已知数列的前n项和公式Sn，求通项公式的基本方法是：例5、数列的前项和为，（1）;（2）.分别求.解：（1）应为分段函数.当时，，故.（2）又两式对应相减得.即，从而.又.数列是首项为7，公比为2的等比数列，，即.点评：要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。六、待定系数法：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式。例6、设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若，，，求通项公式。解：设点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列｛｝为等差数列：则，（b、ｃ为常数），若数列｛｝为等比数列，则，。七、辅助数列法：形如(p、q为非零常数)，只需在式子两边同加，即可得辅助数列为公比是p的等比数列，这种方法类似于换元法；形如型的递推关系，形如只需在式子两边同除以,可得,令,则，只需构造新数列，消去带来的差异。例7、数列：=1,当时，有+2，求。解：由+2，两边同加1，得（）故是以为首项，公比为3的等比数列，故.说明:本题亦可由，+2（）两式相减得：得为等比数列求解．例8、已知数列｛｝中且（），，求数列的通项公式。解：∵，∴，设，则故｛｝是以为首项，1为公差的等差数列∴∴例9、设数列：，求.解：设，将代入递推式，得得…（１）则,又，故，代入（１）得说明：若为的二次式，则可设;本题也可由,（）两式相减得转化为求之.八、数学归纳法：先由递推公式算出前几项找到规律，归纳、猜想出通项公式再加以证明。例10、在数列｛｝中，，求的表达式。解：因为，所以得：，猜想：。下面用数学归纳法证明：（1）当时，=1+1=2与计算结果相同，故等式成立。（2）假设当时成立，即，那么，当时，即当时成立。由此得：。九、函数的不动点思想：例11、已知数列满足,且，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得，例12、已知数列满足，且求数列的通项。解：其特征方程为，解得，令，由，得，例13、已知数列满足，求数列的通项.解：其特征方程为，化简得，解得，令由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，例14、已知数列满足，求数列的通项。解：其特征方程为，即，解得，令，由得，求得，数列是以为首项,以为公差的等差数列，，