《流形上的微积分》教学大纲课程代码编写时间2011年8月更新课程名称流形上的微积分英文名称CalculusonDifferentialManifolds学分数2周学时2或3任课教师谢锡麟开课院系力学与工程科学系预修课程具有较好的微积分与线性代数的基础课程性质：专业选修课教学目的：本课程开设是为实践和追求“微积分的一流化进程——从微积分到实分析＋泛函分析”的重要环节。本路径主要包括，在必修课《数学分析》或《高等数学》的基础上，继续修读专业选修课《经典力学数学名著选讲》（数学分析深化部分）、《流形上的微积分》、《应用实变函数论与泛函分析基础》。一年级学生在完成微积分的基础上，可以继续选修第一学年暑期开设的《经典数学力学名著选讲》（关于数学分析的深化），以及后续开设的《流形上的微积分》。以此使得数学分析方面的教学，从深度和广度上能达到、甚至覆盖（俄）卓里奇著《MathematicalAnalysis》的基本要求，为进一步研习现代数理知识打下坚实的基础。课程基本内容简介：《流形上的微积分》，主要包括微分流形基本概念，向量丛和切丛，外微分形式和Stokes定理，向量丛上的Riemann度量和线性联络。流形定义及事例，参照徐森林等著《流形》（高等教育出版社），以及W.M.Boothby著《AnIntroductiontoDifferentiableManifoldsandRiemannianGeometry》；外积、外微分等运算，参照郭仲衡著《张量（理论和应用）》（科学出版社）相关内容；向量丛、切丛以及Riemann流形上线性联络以及各种曲率运算，参照徐森林等著《微分几何》（中国科技大学出版社）；流形上微积分的应用，参照（俄）V.I.Arnold著《经典力学的数学方法》，《OrdinaryDifferentialEquations》等。基本要求：基于一般微积分及线性代数基础，基于现代张量分析较为系统地掌握现代微分几何的基础知识，并且注重相关理论在认识自然及非自然世界中的作用。教学方式：授课为主，并积极鼓励学生开展讨论教材和教学参考资料：作者教材名称出版社出版年月徐森林、薛春华流形高等教育出版社1991AnIntroductiontoW.M.BothbyDifferentiableManifoldsand人民邮电出版社2007RiemannianGeometry中国科学技术大学出徐森林、薛春华微分几何1997版社V.ZorichMathematicalAnalysisⅡ,Ⅰ世界图书出版公司2004郭仲衡张量（理论和应用）科学出版社1988V.I.Arnold经典力学的数学方法高等教育出版社2006教师教学、科研情况简介和主要社会兼职：05年3月起（作为复旦大学从事教学与研究的正式职工），从事微积分方面教学。基于自身专业背景，注重理论联系实际，由此将数理知识体系理解为，按量化观点（包括定量与定性刻画），认识自然及非自然世界系统的思想和方法；并认为真正的创新（结合力学专业背景）需源于坚实基础之上。由此，持续地研读具有世界一流水平的专著成为工作和生活的主要内容，同时也将此融合与教学，教学也与研究融合。对于持续至今的教学研究与实践，现自身主讲的课程可进行如下归纳：①微积分的一流化进程——从微积分到实分析＋泛函分析。本路径涉及专业选修课《经典力学数学名著选讲》、《流形上的微积分》、《实变函数论与泛函分析基础》。②基于现代张量分析的连续介质力学理论及其流体力学方面的实践。本路径涉及《张量分析与微分几何基础》、《连续介质力学基础》、《涡量与涡动力学基础》。——上述数学基础及专业基础路径，将为相应的研究及进一步学习（对应更高层次的研究）奠定必备的基础。进一步，我们需要切实开展理论物理方面的学习和研究。——我们认为，研究工作的层次决定于数学基础及专业基础的水平！故不断地提升数学及专业基础是提升研究水平的充分必要性条件。注重于基于坚实的数理基础，持续性从事复杂流动方面的理论、真实实验及数值实验研究，相关研究获得国家自然科学基金、上海市科委等资助。入选复旦大学第五届世纪之星；2006年入选“上海优秀青年教师选拔培养工程”；2008年度复旦大学香港人奖教金；2010年度复旦大学教学成果二等奖，《基于现代张量分析的连续介质力学理论及其在流体力学中的实践》。现担任《力学季刊》、《水动力学研究与进展》编委；中国力学学会第八届科学普及工作委员会委员。基本教学安排：第一部分m维Euclid空间中的r维光滑流形1.3学时，关于微分同胚有关知识，隐映照定理→逆映照定理→逆映照定理，