第二章控制系统的数学模型前言2-1控制系统的时域数学模型消去中间变量i(t),便得到描述网络输入输出关系的微分方程为①电枢回路电压平衡方程②电磁转矩方程由式(2-2)~式(2-4）消去中间变量ia(t),Ea及Mm(t),便可得到以m(t)为输出量,以ua(t)为输入量的直流电机微分方程为如果Ra和Jm都很小而忽略不计时,式(2-6)还可进一步简化为式中:从以上分析可以发现,物理结构不同的元件或系统,可以具有相同形式的数学模型,例如，前述的RLC无源网络和弹簧-质量-阻尼器机械系统的数学模型均是二阶微分方程，我们称之为相似系统.相似系统揭示了不同物理现象间的本质相似关系，利用它可以综上所述，列写元件微分方程的步骤可归纳如下：2控制系统微分方程的建立运算放大器I给定电压ui与速度反馈电压ut合成，产生偏差电压并放大齿轮系设速比为i，电机转速ωm经齿轮系减速后变为ω有4线性定常微分方程的求解4.1拉普拉斯(Laplace)变换（参见附录A）⑵拉氏变换表②位移定理：当f(t)及其各阶导数的初始值都为零时：⑥终值定理：例2-5则有(2)A(s)=0有重根时故有原函数例2-64.2拉氏变换发求解微分方程算例对网络微分方程两边求拉氏变换并代入已知数据，经整理后有用拉氏变换法求解线性定常微分方程的过程可归结如下：5非线性微分方程的线性化2-2控制系统的复数域数学模型-传递函数设线性定常系统的n阶线性常微分方程为式中在零初始条件下,对上式进行拉氏变换,令Uo(s)=L[uo(t)],Ui(s)=L[ui(t)]得②传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式,它只取决于系统或元件的结构和参数,而与输入量的形式无关,也不反映系统内部的任何信息.因此,可以用图2-5的方块图表示一个具有传递函数G(s)的线性系统.传递函数是在零初始条件下定义的,控制系统的零初始条件有两方面的含义:一是指输入量是在t≥0时才作用于系统,因此在t=0-时输入量及其各阶导数均为零;二是指输入量加于系统之前,系统处于稳定的工作状态,即输出量及其各阶导数在t=0-时的值也为零.现实的工程控制系统多属此类情况.式中,---------称为传递函数的零点;传递函数的零点和极点可以是实数,也可是复数,系数K*=b0/a0称为传递系数或根轨迹增益.这种用零点和极点表示传递函数的方法,在根轨迹法中使用较多.式中,一次因子对应于实数零极点,二次因子对应于复数零极点.称为时间常数,称为传递系数或增益.传递函数的这种表示形式在频率法在使用较多.图2-6电位器及其特性空载时,单个电位器的电刷角位移θ(t)与输出电压u(t)的关系曲线如图2-6(c)所示.图中的阶梯形状是由绕线线径产生的误差,理论分析时可用直线近似.由图可得输出电压为用一对相同的电位器组成误差检测器时,其输出电压为⑵测速发电机图2-7测速发电机示意图图2-7(b)是交流测速发电机的示意图.在结构上它有两个互相垂直放置的线圈,其中一个是激磁绕组,接入一定频率的正弦额定电压;另一个是输出绕组.当转子旋转时,输出绕组产生与转子角速度成比例的交流电压u(t),其频率与激磁电压频率相同,其传递函数及方块图亦同直流测速发电机.⑷两相伺服电动机图2-9两相伺服电动机及其特性由前面两式消去中间变量Ms和Mm,并在零初始条件下求拉氏变换,可求得两相伺服电动机的传递函数为⑸无源网络应该注意,求取无源网络传递函数时,一般假设网络输出端有无穷大的负载阻抗,输入内阻为零,否则应考虑负载效应.若将G1(s)与G2(s)两方块串联连接,如图2-11右端,其传递函数为2-3控制系统的结构图与信号流图⑴信号线.带有箭头的直线,箭头表示信号的流向,在直线旁标记信号的时间函数或象函数，如图2-12(a);绘制系统结构图时，首先考虑负载效应分别列写各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框表示；然后根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方框连接便得到系统的结构图。结构图上可以用方框进行数学运算，也可以直观了解各元部件的相互关系及其在系统中所起的作用。而且，从系统结构图可以方便地求得系统的传递函数。所以系统结构图也是控制系统的一种数学模型。例2-10绘制如图2-13所示RC无源网络的结构图图2-14RC无源网络结构图2结构图的等效变换和简化（l）串联方框的简化（等效）（2）并联方框的简化（等效）（3）反馈连接方框的简化（等效）⑷比较点和引出点的移动例2-11试简化图2-18的结构图,并求系统传递函数C(s)/R(s).-_图2-19例2-11系统结构图的简化3信号流图的组成及性质源节点(输入节点)在该点上只有信号输出支路，没有信号输入支路，一般代表系统的输入量。4信号流图的绘制(2)由结构图绘制信号流图例2-14试绘制图2-21所示系统结构图对应