2023年全国硕士研究生招生考试《数学三》真题及答案解析【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。1．已知函数f（x，y）＝ln（y＋|xsiny|），则（）。ffA．不存在，存在xy0,10,1ffB．存在，不存在xy0,10,1ffC．，均存在xy0,10,1ffD．，均不存在xy0,10,1〖答案〗A〖解析〗f（0，1）＝0，由偏导数的定义ffx,1f0,1ln1sin1xxlimlimsin1lim，xx0xx0xx0x0,1xxf因为lim1，lim1，所以不存在，x0xx0xx0,1ff0,yf0,1lnyy1flimlimlim1，所以存在.yy1y1y1y1y1y1y0,10,11,x02．函数fx1x2的原函数为（）。x1cosx,x0ln1x2x,x0A．Fxx1cosxsinx,x0ln1x2x1,x0B．Fxx1cosxsinx,x0ln1x2x,x0C．Fxx1sinxcosx,x0ln1x2x1,x0D．Fxx1sinxcosx,x0〖答案〗D〖解析〗当x≤0时，dxfxdxlnx1x2C1x21当x＞0时，fxdxx1cosxdxx1dsinxx1sinxsinxdxx1sinxcosxC2原函数在（－∞，＋∞）内连续，则在x＝0处limlnx1x2CC，limx1sinxcosxC1C1122x0x0＝1＋C，令C＝C，则C＝1＋C，故所以C1221ln1x2x1C,x0fxdx，x1sinxcosxC,x0ln1x2x1,x0综合选项，令C＝0，则f（x）的一个原函数为Fx.x1sinxcosx,x03．已知微分方程式y′′＋ay′＋by＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（）。A．a＜0，b＞0B．a＞0，b＞0C．a＝0，b＞0D．a＝0，b＜0〖答案〗C〖解析〗微分方程y′′＋ay′＋by＝0的特征方程为λ2＋aλ＋b＝0，2，λ，则λ，λ至少有一个不等于零，当Δ＝a－4b＞0时，特征方程有两个不同的实根λ1212xx若C，C都不为零，则微分方程的解yCe1Ce2在（－∞，＋∞）无界；1212当Δ＝a2－4b＝0时，特征方程有两个相同的实根λ＝－a/2，1，2aaxx若C≠0，则微分方程的解yCe2Ce2在（－∞，＋∞）无界；212a4ba2当Δ＝a2－4b＜0时，特征方程的根为i，1,222a22x4ba4ba则通解为ye2CcosxCsinx，1222此时，要使微分方程的解在（－∞，＋∞）有界，则a＝0，再由Δ＝a2－4b＜0，知b＞0.4．已知a＜b（n＝1，2，...），若级数a与b均收敛，则“级数a绝对收敛”是“bnnnnnnn1n1n1n1绝对收敛”的（）。A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由条件知ba为收敛的正项级数，进而绝对收敛；nnn1设a绝对收敛，则由|b|＝|b－a＋a|≤|b－a＋||a与比较判别法，得|b绝对收敛；nnnnnnnnnn1n1设b绝对收敛，则由|a|＝|a－b＋b|≤|b－a＋||b与比较判别法，得|a绝对收敛.nnnnnnnnnn1n1AE*5．设A，B为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，M*为矩阵M的伴随矩阵，则＝（）。0BAB*B*A*A．0BA*BA*A*B*B．0AB*BA*B*A*C．0AB*AB*A*B*D．0