2023年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题及答案解析【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。11．yxlne曲线的渐近线方程为（）。x1A．y＝x＋eB．y＝x＋1/eC．y＝xD．y＝x－1/e〖答案〗B1xlneyx11〖解析〗klimlimlimlne1,xxxxxx111blimykxlimxlnexlimxlne1xxx1xx11x1limxln1limxex1xex1e所以斜渐近线方程为y＝x＋1/e．2．已知微分方程式y′′＋ay′＋by＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（）。A．a＜0，b＞0B．a＞0，b＞0C．a＝0，b＞0D．a＝0，b＜0〖答案〗C〖解析〗微分方程y′′＋ay′＋by＝0的特征方程为λ2＋aλ＋b＝0，2当Δ＝a－4b＞0时，特征方程有两个不同的实根λ1，λ2，则λ1，λ2至少有一个不等于零，xx若C1，C2都不为零，则微分方程的解yCe1Ce2在（－∞，＋∞）无界；12当Δ＝a2－4b＝0时，特征方程有两个相同的实根λ＝－a/2，1，2aaxx若C2≠0，则微分方程的解yCe2Ce2在（－∞，＋∞）无界；12a4ba2当Δ＝a2－4b＜0时，特征方程的根为i，1,222a22x4ba4ba则通解为ye2CcosxCsinx，1222此时，要使微分方程的解在（－∞，＋∞）有界，则a＝0，再由Δ＝a2－4b＜0，知b＞0.x2tt3．设函数y＝f（x）由确定，则（）。ytsintA．f（x）连续，f′（0）不存在B．f′（0）存在，f′（x）在x＝0处不连续C．f′（x）连续，f′′（0）不存在D．f′′（0）存在，f′′（x）在x＝0处不连续〖答案〗Cx3txxxt〖解析〗t≥0时，，得ysin；t＜0时，，得y＝－xsinx；ytsint33ytsintxxsin,x0综上，y33，xsinx,x0xxsin0xsinx0从而由y0lim330,y0lim0，得y′（0）＝0；x0xx0x1xxxsincos,x03393于是y0,x0，得y′连续；sinxxcosx,x01xxxsincos02sinxxcosx0又由y0lim3393,y0lim2，x0x9x0x得y′′（0）不存在.4．已知an＜bn（n＝1，2，...），若级数a与b均收敛，则“级数a绝对收敛”是“bnnnnn1n1n1n1绝对收敛”的（）。A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由条件知ba为收敛的正项级数，进而绝对收敛；nnn1设a绝对收敛，则由|bn|＝|bn－an＋an|≤|nb－an＋||na与比较判别法，得|b绝对收敛；nnn1n1设b绝对收敛，则由|an|＝|an－bn＋bn|≤|nb－an＋||nb与比较判别法，得|a绝对收敛.nnn1n10AABCEAB5．已知n阶矩阵A，B，C满足ABC＝0，E为n阶单位矩阵，记矩阵，，BCE0EAB0的秩分别为γ1，γ2，γ3，则（）。A．γ1≤γ2≤γ3B．γ1≤γ3≤γ2C．γ3≤γ1≤γ2D．γ2≤γ1≤γ3〖答案〗B〖解析〗因初等变换不改变矩阵的秩，0AABC000rrrrn，1BCEBCEBCEABCAB0rrrrABn，20E0EEABE0E0rrrrrABABn，3AB0ABABAB0ABAB故选（B）.6．下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是（）。11aA．0220031