例1已知非线性系统结构图如图所示（图中M=h=1）。12（1）当G(s)=,G(s)=,G(s)=1时，试分析系统是否会产生自振，若产生自1s(s+)12s3振，求自振的幅值和频率；（2）当上面问题中=时，试分析对系统的影响。G3(s)s解（1）首先将结构图简化成非线性部分N(A)和等效线性部分G(s)相串联的结构形式，如下图所示。等效线性部分的传递函数为12××1G(s)G(s)G(s)s(s+)1s2G(s)=123==1+G(s)1s(s2+s+)111+s(s+)14Mh非线性部分的描述函数为N(A)=1−()2（A≥h）πAA画出−1N(A)和G(jω)曲线如图所示，可见系统存在自振点。1由自振条件可得−N(A)=G(jω)−4Mhjω1(−ω2+jω)−ω2ω1(−ω2)1−()2==+jπAA222比较实部、虚部，得4Mhω21−()2=πAA221−ω=0将M=1=h=1代入，联立解出ω=,1A=29.2。（2）当=时G3(s)s12××ss(s+)1s2G(s)==12++11+sss(s+)1G(jω)如图中虚线所示，此时G(jω)不包围−1N(A)曲线，系统稳定。可见，适当改变系统的结构和参数可以避免自振。例设系统如图示。带滞环继电特性的描述函数为4Mh4MhN(A)=1−()2−j（A≥h）πAAπA2（1）试讨论参数T对系统自振的影响；（2）若T=25.0，试求系统自振的振幅和频率。解系统的特征方程式：101+1(+jω)(1+Tjω)N(A)=0(jω)3+ω+ω−1=101(j)(1Tj)N(A)(jω)3滞环继电特性的描述函数为：4Mh4MhN(A)=1−()2−j=KN(A)（A≥h）πAAπA200M1π2==−=−−+K04(A1j)hN0(A)41π当A=1，−=−j；N0(A)41π当A→∞，−=−∞−jN0(A)41πA从1~∞变化时，−均为有限值，且虚部均为−。N0(A)410−40(Tω+ω)+j401(−Tω2)线性部分：KG(jω)=41(+jω)(1+Tjω)=0(jω)3ω3（1）T对系统自振的影响401(−Tω2)π当>−时，系统不发生自振，求KG(jω)虚频特性的极小值：ω340d401(−Tω2)31由[]=0，得出ω==3Tdωω3TT−ω2π代入401(T)>−，得到<时，两曲线不相交，系统不发生自振。1T.0138ω3ω=3TT4（2）T=25.0，系统产生自振令线性部分与非线性部分实部与虚部分别相等，解出振幅与频率401(−25.0ω2)π虚部相等=−得出ω=2.2ω=124.ω3412−4025.0(ω+ω)π实部相等=−A2−1ω34点：=是不稳定的振荡M1A1132.132.sin2.2t点：=是稳定的自振M2A208.108.1sin124.t1(+Ts)(s+)1将振幅折算到输出端，由于X(s)=−C(s)，因此ssC==⋅X==.0346，输出端自振.0346sin124.tx(Ts+)(1s+)1sj124.X08.1例3已知非线性系统如图所示。系统原来处于静止状态，r(t)=6⋅(1t)。试绘制系统的相轨迹并计算经过多长时间系统状态可到达原点。解（1）列写运动方程：+1(e+e&>)02c&&=y，且y=−1(e+e&<)0当系统r(t)=0时，相平面取c−c&平面，当r(t)≠0时，相平面取e−e&平面。Qc=r−e∴c&&=−e&&将上述方程转换为e变量，开关线为e+e&=0将相平面划分成两个区域。建立每个区域的线性微分方程−5.0(e+e&>0)Ⅰ区e&&=+5.0(e+e&<0Ⅱ区在I区：e&&=−5.0初始条件e)0(=r)0(−c)0(=6，e&)0(=r&)0(−c&)0(=0e&=−0.5t消去参变量t得到x-x&的e=−0.25t2+62解析关系（相轨迹方程）e&=−e+6则相轨迹为抛物线，开口向左，从A(6，0)出发到B（2，-2）。在II区：e&&=0.5初始条件是进入Ⅱ区的起始点，e2=−e+6即为Ⅰ区相轨迹方程与开关线方程所对应的曲线交点：&解出交点e&=−ee(0)=2，e&(0)=-2=−e&0.5t22消去参变量t得到x-x&的解析关系（相轨迹方程）e&=e+2则e=0.25t2−2t+2相轨迹为抛物线，开口向右，从B点