也谈递推数列的通项问题（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）也谈递推数列的通项问题泾川一中杜岩（744300）（0933-3238600，电子邮箱）【摘要】用初等方法讨论了常见递推数列的通项问题。【关键词】递推数列；通项公式；初等方法中图分类号：O122文献标识码：C递推数列的通项问题高中数学的重要内容，也是高考的热点问题，又是高中数学教学的难点。本文意在用初等方法分类讨论，归纳总结中学范围内常见的递推数列的通项问题。一、方法探究定义1。如果一个数列给出了初始条件和递推公式，就称这个数列为递推数列。定义2。如果一个递推数列的递推公式是线性的，就称这个数列为线性递推数列，否则称为非线性递推数列。定义3。如果数列{an}满足如下两个条件：（ⅰ）ai（i=1,2,3,…,k）的值已知;(ⅱ)an+k=,pj,q为常数。就称该数列为一个k阶线性递推数列。特别地，当q=0时，称数列{an}为一个k阶齐次线性递推数列。定义4。若数列{an}满足a1=b,an+1=f(n)an+g(n)(n∈N,b≠0,f(n)和g(n)是n的函数)，则称之为一阶线性递推数列的推广形式。命题1若数列{an}满足a1=b,an+1=qan+d(bd≠0),则1)q=1时，an=b+(n-1)d；2)d=0时,an=bqn-1；3)d≠0且q≠1时,an=[bqn+(d-b)qn-1-d]/(q-1)。证明这是一阶线性递推数列，1)和2)是显然的，只证3)。由已知an+1=qan+d（n≥1）,得an=qan-1+d(n≥2),从而an+1-an=q(an-an-1),由此知{an+1-an}是等比数列，所以an+1-an=（a2-a1）qn-1=(qb+d-b)qn-1,再把an+1=qan+d代入上式，得an=[bqn+(d-b)qn-1-d]/(q-1).命题2若数列{an}满足a1=b,an+1=f(n)an+g(n)(n∈N),b≠0,f(n)和g(n)都是n的函数，则1）f(n)≡1时，an=b+;2)g(n)≡0时，an=b;3)an+1=fi(n)an+gi(n)(i=1,2)时，an=[g1(n)-g2(n)]/[f2(n)-f1(n)].证明这是一阶线性递推数列的推广形式。当f(n)≡1时,an+1-an=g(n),于是a2-a1=g(1),a3-a2=g(2),…,an-an-1=g(n-1),进而得an-a1=,即an=b+。当g(n)≡0时,有=f(n),于是=f(1),=f(2),…,=f(n-1),左右两边分别相乘得：=，因此an=b。当an+1=f1(n)an+g1(n)及an+1=f2(n)an+g2(n)时，解方程组得：an=[g1(n)-g2(n)]/[f2(n)-f1(n)]。命题3若数列{an}满足a1=b,a2=c,an+1=pan+qan-1(n≥2)，且pq≠0,则当1)p+q=1时，;2)p+q≠1且p2+4q≠0时，an=，其中、是方程的根（、∈C），;3）p+q≠1且p2+4q=0时，an=(n-1)(p/2)n-2c-(n-2)(p/2)n-1b(n∈N）.证明这是二阶齐次线性递推数列。当p+q=1时，an+1=(1-q)an+qan-1(n≥2),即an+1-an=-q(an-an-1),数列{an+1-an}是等比数列，因此an+1-an=（a2-a1）(-q)n-1=(c-b)(-q)n-1，由命题2的1)的。当p+q≠1时，引进实数将an+1=pan+qan-1改写成：，若数列{an+1+an}为等比数列，则=q/(p+),即，此方程在复数集C中总有二根，，记f()=an+1+an=,当p2+4q≠0时，≠，于是有方程组解得:an=。当p2+4q=0时，1=2=-，即an+1=an+=an+,,,…………………………………………………………，于是猜想：an=(n∈N），下面用数学归纳法证之：①当n=1时，显然成立。②假设当n=k(k∈N+）时命题成立，即ak=,那么n=k+1时，ak+1=ak+=.这说明n=k+1时命题也成立。从而an=(n∈N）。命题1、2、3是高中数学中常见的递推数列，对于以其它形式出现的递推数列，我们可以采用化归法进行转化，进而求解，这里不再赘述。二、应用举例【例1】在数列{an}中，已知a1=1/3,且前n项的算术平均数等于第n项的2n-1倍（n∈N），求{an}的通项公式。分析本题的特点是数列{an}的递推公式是间接给出的，需要利用已知条件进行推导，然后再根据递推公式求通项公式。解由已知得，即sn=n(2n-1)an,由an=sn-sn-1(n