(每日一练)人教版2023高中数学定积分易混淆知识点单选题、在()푛*二项展开式中2的系数为，则1푛（）11+푥(푛∈푁)푥15∫0푥푑푥110A．B．7C．15D．73答案：A解析：根据二项式定理得到푛=6，带入计算定积分得到答案.푛*푟푟2(1+푥)(푛∈푁)二项展开式的通项为푇푟+1=퐶푛푥，所以퐶푛=15，解得푛=6，11111所以∫푥푛푑푥=∫푥6푑푥=푥7|=.00707故选：A.12、∫(√4−푥2+sin푥)푑푥=（）−1ππ2πA．+2√3B．+√3C．+√3D．π+√3333答案：C解析：结合几何意义求得定积分.111∫(√4−푥2+sin푥)푑푥=∫(√4−푥2)푑푥+∫(sin푥)푑푥，−1−1−11()()1()[()]∫−1sin푥푑푥=−cos푥|−1=−cos1−−cos−1=−cos1+cos1=0.1푦=√4−푥2,푥2+푦2=22(푦≥0)，表示圆心在原点，半径为2的圆的上半部分.π퐴(1,√3),퐵(−1,√3)在圆上，所以∠퐴푂퐵=，31112π所以∫(√4−푥2)푑푥=×π×22+2×(×1×√3)=+√3.−162312π所以∫(√4−푥2+sin푥)푑푥=+√3.−13故选：C3、在数学中，若干有关联的曲线经过叠加或组合可以形成一些形状优美、寓意美好的曲线，如图的“心形”曲2线퐶恰好就是曲线퐶1:푦=√1−(|푥|−1)和曲线퐶2:|푥|=cos푦+1(−휋≤푦≤0)组合而成的，则曲线퐶所围成的“心形”区域的面积等于（）11휋13휋7휋A．B．3휋C．D．442答案：B解析：21曲线퐶与푥轴围成的区域为两个半径均为1的半圆面（圆心分别为푂(−1,0)、푂(1,0)，其面积为×휋×12+11221×휋×12=휋.求曲线|푥|=cos푦+1(−휋≤푦≤0)与푥轴围成的区域的面积有两种方法.2휋解法一：设퐹(0,−휋)，线段퐸퐹的中点为퐺(1,−)，2因为曲线푥=cos푦+1(−휋≤푦≤0)关于点퐺对称，所以可将曲线푥=cos푦+1(−휋≤푦≤0)与푥轴、푦轴围成的区域割补为直角三角形푂퐸퐹的区域，于是曲线푥=cos푦+1(−휋≤푦≤0)与푥轴、푦轴围成的区域的面积就是直角三角形푂퐸퐹的面积，11即푆=|푂퐸|⋅|푂퐹|=×2×휋=휋；根据对称性，△푂퐸퐹22可得曲线|푥|=cos푦+1(−휋≤푦≤0)与푥轴围成的区域的面积为2휋.解法二：曲线|푥|=cos푦+1(−휋≤푦≤0)与푥轴围成的区域的面积为：0[()()]0()∫−휋1+cos푦−−1−cos푦푑푦=2∫−휋1+cos푦푑푦=2휋.由此，曲线퐶所围成的“心形”区域的面积等于휋+2휋=3휋.故选:B.3小提示：关键点睛：解法一的关键是割补思想的运用，解法二运用了定积分的办法，这是解决不能直接运用公式的一般性方法.填空题14、∫(√1−푥2+2푥−1)d푥的值为______−1휋答案：−22解析：根据给定条件利用定积分的几何意义及计算公式计算作答.1휋令푦=√1−푥2，即푥2+푦2=1(푦≥0)表示以原点为圆心的单位圆在x轴及上方的半圆，则∫√1−푥2d푥=，−12111휋휋∫(√1−푥2+2푥−1)d푥=∫√1−푥2d푥+∫(2푥−1)d푥=+(푥2−푥)|1=−2，−1−1−12−121휋所以∫(√1−푥2+2푥−1)d푥的值为−2.−12휋所以答案是：−22푒105、∫푑푥+∫√4−푥2푑푥=______________.푥−21答案：휋+1解析：1根据(ln푥)′=以及定积分的几何意义可得答案.푥푒1푒∫푑푥=ln푥|=ln푒−ln1=1−0=1，푥112222因为∫√4−푥푑푥表示的是圆푥+푦=4在x轴及其上方的面积，−2210所以∫√4−푥2푑푥=×휋×22=2휋⇒∫√4−푥2푑푥=휋，−22−24푒10所以∫푑푥+∫√4−푥2푑푥＝1+휋.푥−21所以答案是：휋+1.小提示：本题考查了定积分的计算，考查了定积分的几何意义，属于基础题.5