(每日一练)人教版2023高中数学定积分易错题集锦单选题1、函数푦=푥2−1的图象如图所示，则阴影部分的面积是（）．12．22A∫0(푥−1)d푥B∫0(푥−1)d푥．2|2|．1222C∫0푥−1d푥D∫0(푥−1)d푥+∫1(1−푥)d푥答案：C解析：对阴影部分的面积分成两部分，根据定积分的几何意义写出面积和，再利用定积分的可加性进行积分运算.所求面积为1222122222．∫0(1−푥)d푥+∫1(푥−1)d푥=∫0|푥−1|d푥+∫1|푥−1|d푥=∫0|푥−1|d푥故选：C.小提示：本题考查定积分的几何意义，特别要注意，当푥∈[0,1]时，푓(푥)<0，其积分值是负数，且该负数的绝对值或相反数才是푥∈[0,1]对应阴影部分的面积．푡휋2、若cos2푡=∫cos푥푑푥，其中푡∈(0,)，则푡=（）02휋휋A．B．631휋5휋C．D．26答案：A解析：利用微积分基本定理求定积分，然后利用余弦的二倍角公式转化为关于sin푡的方程，进而求解即得.푡|푡，又푡，，∵∫0cos푥푑푥=sin푥0=sin푡cos2푡=∫0cos푥푑푥∴cos2푡=sin푡21即1−2sin푡=sin푡，解得sin푡=−1或sin푡=，2휋휋又∵푡∈(0,)，∴푡=，26故选:A.3、曲线푦=푥2和푦2=푥所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为（）3117A．휋B．휋C．휋D．휋102510答案：A解析：欲求曲线푦=푥2和푦2=푥所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积，可利用定积分计算，即求出被积函数푦=휋(푥−푥4)在0→1上的积分即可.设旋转体的体积为푉，11113휋则푉=∫휋(푥−푥4)푑푥=휋(푥2−푥5)|=.025010故选：A填空题푥−푦−2≤0푒푎4、已知实数x，y满足不等式组{푥+2푦−5≥0，且z=2x-y的最大值为a，则∫푑푥=______．푥푦−2≤01答案：62解析：作出不等式组对应的平面区域，根据目标函数的几何意义，利用平移法进行求解可得a的值，然后求解定积分即可．作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x-y得y=2x-z，平移直线y=2x-z，由图象可知当直线y=2x-z经过点B时，直线y=2x-z的截距最小，此时z最大．푦=2由{，得퐵(4,2)，푥−푦−2=0即a=zmax=2×4-2=6，푒푒푎6则∫푑푥=∫푑푥=6lnx|푒=6．푥푥111故答案为6．小提示：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想以及函数的积分公式是解决此类问题的基本方法，属中档题．、1푥．5∫0(e−2푥)푑푥=______答案：e−23解析：由微积分基本定理计算．1푥푥2|10．∫0(e−2푥)푑푥=(e−푥)0=(e−1)−(e−0)=e−2所以答案是：e−2．4