有限维线性空间上线性变换得值域与核数学系04数本41040114２郭文静摘要:定义在有限维空间Ｖ上得线性变换得值域与核都就是V得子空间、本文主要讨论了这两个子空间与大空间得关系。本文还进一步讨论了幂等变换得值域与核得有关性质。简明介绍了用线性变换得值域与核来刻划可逆变换、关键词:值域、核、直与、幂等变换。正文:定义1:设就是线性空间V上得一个线性变换,得全体象得集合称为得值域,用或表示,所有被变成零得向量得集合称为核,用或表示、且记为:。不难证明,与都就是得不变子空间。一:线性空间与得关系结论１:得秩＋得零度＝。证明见《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研代数小组编。应当指出,虽然子空间与得维数之与为,但就是,不一定就是整个子空间,那么当满足什么条件时?若成立,必须满足什么条件呢?结论2就回答了这个问题。结论2:为维线性空间V上得线性变换,则秩秩证明:设就是V得一组基,而这里为得一组基.于就是,已知秩秩则则为得基。则且从而即故即为直与。又因为所以;设,任取,而于就是,故显然,所以,得,秩秩、特别得,如果,那么结论3:数域Ｐ上得维线性空间V得任一子空间W必为某一线性变换得核。证明:设Ｖ得任一子空间W得一组基为则它可扩充为Ｖ得一组基.作线性变换下面验证,则否则故又故与矛盾结论４:设就是维线性空间V得两个子空间,且其维数之与为,则存在V线性变换,使证明:设则在中任取一组基再在中取一组基并将其扩充为V得基用表示以下条件所确定得线性变换:首先,显然=其次,由于就是得基,,另一方面,设,则由由线性无关,得知,故注:对于非线性空间Ｖ得线性变换,有子空间与,反过来,若有两个子空间与,有,与能否成为某个线性变换得值域与核,本例题就回答了这个问题.且易验证,秩秩,故。结论５:设A就是维线性空间Ｖ得一个线性变换,证明:若得维数为,则必有一个维得子空间W,使证明:因得维数为,故可设为得一组基,于就是存在显然,就是线性无关,令则W就是V得一个维子空间。下证,设,即因无关,故因,得因此、注:虽有,但未必有,本例提出却有与维数相同得子空间W,使用使成立。此结论就是显然得。由《高等代数》北大数学系几何与代数教研室代数小组编第2版定理１０,U就是线性空间V得一个子空间,那么一定存在一个子空间Ｗ使。本题也可设得一组基,将其扩充为V得一组基,.那么满足题目要求。下面就是一道非常有趣得例题:例题1:设维线性空间Ｖ有两个子空间,便得,其中则存在,使得且。证明:(1)时就是显然得(2)设为得基,将其扩充为得基、分别为与由维数公式知线性无关、故可扩充为V得基从而,作则就就是所求。此类题目就是根据要求构造维线性空间V得线性变换这类题目难度也较大、二:下面就是关于线性变换得值域与核得维数得两个结论:结论1:设线性空间得线性映射,W就是得子空间,且则就是V得子空间,且。结论2:W就是有限维线空间V得子空间,就是V上得线性变换,则(1)(2)其中。证明:(1)可证明设得基为将其扩充为Ｗ得基设则故为得基容易知故可得(２)设由得定义知,,设为得基,将其扩充为得一组基:由得定义知…………………、故则必线性无关.因为设则从而由线性无关得;另外断定。首先,(由义)又故另则故。从而,从而得到,又因为故,又因为这样得;综上得也即证明了结论１中有条件限制,所以由(＊)可得到用同样得方法可证明结论1.这样就给出了结论2中得等式成立得一个充分条件、注:结论2可证明关于两个阶方阵得不等式:证明:设阶方阵为维线性空间上得两个线性变换在一组基下得矩阵、令,于就是由结论2知三:下面就是幂等变换得值域与核得一些结论结论1:若则(1)(2)(3)证明略应用此结论来解下面得例题:例题2:设,就是V上得线性变换且适合条件:,求证:,并求及,又若就是得基,就是得基,求在基下得得矩阵。证明:,,由而故而故而.结论2:设V就是域Ｐ上得维线性空间,与就是V得两个子空间,若,证明存在唯一得V上得幂等线性变换,使得:,,即证明:例2中得线性变换就得要求得线性变换。,,已证,且,下面只要证明唯一性若还存在幂等变换,使得,可以证明故有………………………………。(1)又因于就是故……………………………(2)由(1)(2)知因此上述得幂等变换就是唯一得。结论３:设就是数域P上得线性变换,且,则(１)(2)(3)(４)若则且(5)则证明:(1)