凸函数的性质及应用毕业名师（完整版）资料(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）摘要本文首先提出了凸函数的几种等价定义并说明凸函数的几何意义，接着探讨了凸函数的几条定理及其在经济学中的应用，比如最优化应用及风险态度应用，以及函数的凸性在有关经济学问题中发挥的作用，并从数学的角度详细说明了经济学教材中一些结论的来源，如对经济曲线的分析.关键字：凸函数；曲线分析；最优化；风险态度目录TOC\o"1-2"\h\z\uHYPERLINK\l"_Toc387610948"1.引言PAGEREF_Toc387610948\h1HYPERLINK\l"_Toc387610949"2.凸函数的定义及几何意义PAGEREF_Toc387610949\h1HYPERLINK\l"_Toc387610950"2.1凸函数的几种定义PAGEREF_Toc387610950\h1HYPERLINK\l"_Toc387610951"2.2凸函数的几何意义：PAGEREF_Toc387610951\h3HYPERLINK\l"_Toc387610952"3.凸函数的判定定理PAGEREF_Toc387610952\h3HYPERLINK\l"_Toc387610953"4.函数凸性在经济学中的应用PAGEREF_Toc387610953\h7HYPERLINK\l"_Toc387610954"4.1凸函数在经济函数曲线分析中的应用PAGEREF_Toc387610954\h7HYPERLINK\l"_Toc387610955"4.2凸函数在经济优化中的应用PAGEREF_Toc387610955\h11HYPERLINK\l"_Toc387610956"4.3凸函数在风险态度中的应用PAGEREF_Toc387610956\h14HYPERLINK\l"_Toc387610957"5.总结PAGEREF_Toc387610957\h17HYPERLINK\l"_Toc387610958"参考文献PAGEREF_Toc387610958\h181.引言凸函数是一个十分重要的函数，它的定义最早是由Jensen给出.凸函数具有较好的几何和代数性质,它在判定函数的极值、研究函数的图像以及证明不等式等方面都有广泛的应用.利用函数凸性分析经济问题是在十九世纪五十年代以后随着数学规划、最优控制论、数理经济学等应用学科的兴起而发展起来的.经济学中所涉及的函数大多数都有一定的凸性，从而凸函数在经济学中的最优化问题的研究成为了当今的一大热点.人们经常用它来研究系统中人、财、物的组织管理、筹划调度等问题，以发挥最大的经济效益.2.凸函数的定义及几何意义2.1凸函数的几种定义定义1:设函数在区间上有定义，从几何上来看，若的图像上任意两点和之间的曲线段总位于连接这两点的线段之下（上），则称该函数是凸（凹）.参见图1.定义2：设函数在开区间上有定义，若有则称在区间是下凸函数或简称函数在区间是凸的.若记，则.由的凸性可知：从而有即，整理后可得这就是凸函数的另一种定义.定义3：在区间上有定义且连续，称为上的凸函数，如果,有将“”改为“”，函数便成为严格凸函数.定义4：在区间上有定义且连续,称为上的凸函数，如果，有.2.2凸函数的几何意义：当时，点表示了区间中的某一点，即.在下图中弦的方程是：将代入上式得：图1但因此不等式（1）在几何上表示为也就是说，曲线在弦下方，呈现为下凸的形状，而上凸函数的图象则呈现为上凸的形状.（图1）凸函数除了上面的定义以外，还可以给出连续函数在区间上为凸函数的等价性定义.如下所示：3.凸函数的判定定理定理1设函数在开区间上可导，函数在区间上是凸函数当且仅当.证明：根据中值定理对一切及必存在使得：又由凸函数定义得在上是凸函数.任取满足.我们来证明：及在区间上严格增加，设从中存在数使得，根据的严格下凸条件得：即上式表明的函数在严格增加.由此可见记起并以此类推可得在严格增加..定理2设在开区间上可导，则下述论断相互等价：1）为上凸函数；2）为上的增函数；3）对上的任意两点，有（3）证明:若在是凸函数，则由定理1有在上单调增加有同理可证明当时也有若有令则对有：对有：从而：即在是凸函数.定理3如果函数在上有存在二阶导函数,若对，有，则函数在上是一个凸函数.证明：在