1第四讲多面体专题一、基本解题方法点拨1．线面关系转换法：在解决空间图形问题时，我们常常利用课本上已学过的有关线线、线面、面面的平行与垂直的相关定理或定义将线、面关系进行转化，从而达到解决问题的目的.适用情境：有关线线、线面、面面的平行与垂直的判定或证明问题经常可以将线、面关系进行转化.线面垂直问题可以转化为线线垂直问题，线线垂直问题也可以转化为线面垂直问题等.2．基本面法：在解决空间图形问题时，我们常常把已知量和未知量集中转移到某个平面内（即基本面）予以研究，或者把已知量和未知量比较集中的平面作为基本面，把其他量看成是这个基本面的相关量.适用情境：空间几何中对于求（1）异面直线所成角;（2）直线与平面所成角;（3）平面与平面所成角;（4）点、线、面到平面的距离等问题时，将空间图形转化为平面图形来研究，这样就使问题的解决有工具可寻，给问题的解决提供了便利.3．向量法：将空间图形中的线段用向量表示，通过向量的几何意义和运算法则来解决有关立体几何问题的方法.适用情境：当把问题所涉及几何体放置于空间直角坐标系中，若该几何体的与问题相关的顶点坐标可以确定时，常可用向量法解决问题.4．等积法在保持几何体积不变的前提下，通过变化几何体的顶点和底面的位置达到解题目的的方法，称为等积变换法.适用情境：等积变换主要解决体积、距离、面积等度量问题.利用等积变换常常可以建立几何体的体积、相关面积或距离之间的等量关系，从而使问题转化为求方程的解或函数问题.5．割补法：在对空间图形的研究中，为了便于问题的解决，常对空间图形施以割补操作，即把一个复杂的图形割成几个简单图形，或把不易求解的图形分割成易于求解的若干图形；对一个空间图形进行补形，使之补形后成为一个熟知的图形，便于求解.适用情境：利用割补法可将比较复杂的空间图形转化为简单的、熟知的空间图形，从而达到化繁为简，化难为易的目的.割补法常用于几何体中的数量计算或证（判断）几何元素之间的位置关系，尤其是在几何体计算中，割、补是最常用的方法.2二、例题讲解试题1[2004（13）]在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中,真命题是()(A)若lβ且α⊥β,则l⊥α;(B)若l⊥β且α∥β,则l⊥α.(C)若l⊥β且α⊥β,则l∥α.;(D)若α∩β=m且l∥m,则l∥α.[命题立意]本题考查直线与平面的位置关系[思路分析]本题可利用直线、平面平行和垂直的判定定理和性质定理将线面关系进行转化.[试题解析]（A）中反例可为l//；（C）中反例可为l；（D）中反例可为l.[试题点评]本题考查空间线线、线面、面面基本位置关系的判断.得分率为0.91；区分度为0.38.这是考查双基的试题，绝大多数学生都能作出正确选择.故选（B）试题2[2006（14）]若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（）（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件．[命题立意]本题考查如何确定平面和充要条件两个知识点.[思路分析]本题可利用不共线的三点确定平面或线和线外点确定平面的定理来进行充要性判定.[试题解析]充分性成立：“这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况：1）第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面上”；2）第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一个平面内”；必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”；故选（A）.[试题点评]本题考查在掌握充分、必要、充分必要条件的基础上，能正确判断空间线面位置关系.本题得分率为0.85；区分度为0.29.对于理科学生来说，存在两方面的问题，一是不能正确掌握充分、必要、充分必要条件的意义.二是对于空间中，点与面的位置关系缺乏一定的想象能力，所以选了错误答案.试题3：[2005（11）]有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3aaaa.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的3是一个四棱柱，则a的取值范围是__________.[命题立意]本题考查直棱柱的基本概念、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力.[思路分析]利用对棱柱各个侧面的叠和以及上下底面的叠和，计算新棱柱的表面积.[试题解析]解答：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况四棱柱有一种，就是边长为a5的边重合在一起，表面积为24