1背景介绍1.1：传统采样理论简介1.2：压缩感知理论的提出2压缩感知理论主要研究内容2.1：信号的稀疏表示2.2：观测矩阵的设计2.3：信号重构3压缩感知应用-单像素CS相机1.1传统采样理论简介传统的基于Nyquist-Shannon采样定理指导下的信息采样理论的不足主要表现在以下两个方面：1、根据Nyquist-Shannon采样定律，采样速率需达到信号带宽的两倍以上才能精确重构信号。而现实生活中，随着信息技术的高速发展，信息量的需求增加，携带信息的信号所占带宽也越来越大，因此对采样的硬件设备的要求也越来越高。2、另一方面，在实际应用中，为了降低信号的存储、处理和传输成本，人们又不得不经由压缩方式减少信号表示的比特数，以此抛弃认为不重要的数据，这种高速采样再抛弃的过程显然是对采样资源的巨大浪费。1.2压缩感知理论的提出既然传统方法采样的多数数据会被抛弃，那么，为什么还要获取全部数据而不直接获取需要保留的数据呢？采集很少一部分数据并且期望从这些少量数据中解压出大量信息，有无这种可能呢？D.Donoho,Candes，T.Tao等人证明了如果信号具有稀疏性的特性，那么就可能存在一种算法能够从这些少量的数据中还原出原先的信息。2压缩感知理论主要研究内容2.1：信号的稀疏表示2.2：观测矩阵的设计2.3：信号重构2.1信号的稀疏表示如图是一个稀疏度为3的稀疏变换，,向量基本都是非零值，但将其变换到域时，非零值就只有3个了，数目远小于原来的非零数目，实现了信号的稀疏表示。如何寻找信号的最佳稀疏域呢？（2）超完备库下的稀疏表示：用超完备的冗余函数库来取代基函数，称之为冗余字典，字典中的元素被称之为原子，目的是从冗余字典中找到具有最佳线性组合的K项原子来逼近表示一个信号，称作信号的稀疏逼近或高度非线性逼近。一是如何构造这样一个适合某一类信号的冗余字典；二是在已知冗余字典的前提下如何设计快速有效的分解方法来稀疏地表示某一个信号。2.2观测矩阵的设计如果我们假设信号已经是稀疏的，那么上面的方程就可以写作观测矩阵要满足什么样的条件呢？目前，关于测量矩阵的研究主要基于以下两个方面：１RIP条件：２相干性：随机矩阵、结构随机矩阵与确定性矩阵.虽然随机矩阵能产生尺寸接近最优的RIP矩阵。在工程实际中,人们更希望构造一个确定性RIP矩阵。因为确定性矩阵更利于工程设计,此外,从构造解码算法角度来看,确定性矩阵利于降低内存、设计快速的恢复算法等。然而,现在仍然缺少令人满意的确定性RIP矩阵构造方法。结构随机矩阵.与确定性矩阵相比,结构随机矩阵多了些随机性,因而可以证明其具有较好的RIP性质,同时,结构随机矩阵的随机性较弱,一般仅具有行随机性。2.3信号重构对于0-范数问题的求解是个NP问题，在实际应用中很难获得问题的可行解。因此，寻求对以上问题的松弛以获得理想的逼近解，已成为稀疏信号重构的重要手段。一种自然的想法是，用下面的模型来代替，我们称之为p-范数优化问题（0<p<=1）：或者：求解该最优化问题，得到稀疏域的系数，然后反变换即可以得到时域信号。目前出现的重构算法主要有：但是基于1-范数优化问题的信号重构至少存在两个方面的不足：（1）数据之间还可能存在很大的冗余难以去除；（2）无法区分稀疏尺度的位置（尽管重构信号在欧式距离上逼近原始信号,但会出现低尺度的能量转移到高尺度的现象,因而易出现高频震荡现象）。３）p-范数优化问题。Xu等人对1/2-范数优化问题的正则化问题进行了深入的研究，给出了问题的解析解，并从数值实验的角度说明了该问题的解具有较1-范数重构更好的稀疏性，且p越小，稀疏性越好。3压缩感知应用--单像素CS相机“数字微镜阵列”完成图像在伪随机二值模型上的线性投影的光学计算，其反射光由透镜聚焦到单个光敏二极管上，光敏二极管两端的电压值即为一个测量值y，将此投影操作重复M次，即得到测量向量Y，然后用最小全变分算法构建的数字信号处理器重构原始图像x。数字微镜器件由数字电压信号控制微镜片的机械运动以实现对入射光线的调整，相当于随机观测矩阵。现为美国StanfordUniversity人文科学讲座教授及统计学教授。他是美国人文与科学学院院士、美国工业与应用数学学会(SIAM)院士、法国科学院外籍院士及美国国家科学院院士。统计学会会长奖（1994）邵逸夫数学科学奖（2013）EmmanuelCandes是斯坦福大学的数学、统计学，电子工程荣誉教授，同时也是应用计算数学领域的教授。EmmanuelCandes教授曾获数项国际奖项，包括国家科学基金会最高个人奖项。ICM2014被邀请做1小时报告。谢谢大家！