含有函数记号“含有函数记号f(x)”有关问题解法有关问题解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号f(x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：求表达式：一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。x例1：已知f()=2x+1,求f(x).x+1xuu2?u2?x解：设=u,则x=∴f(u)=2+1=∴f(x)=x+11?u1?u1?u1?x2.凑合法：在已知f(g(x))=h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f(x).此解法简洁，还能进一步复习代换法。11例2：已知f(x+)=x3+3，求f(x)xx1111111解：∵f(x+)=(x+)(x2?1+2)=(x+)((x+)2?3)又∵|x+|=|x|+≥1xxxxxx|x|∴f(x)=x(x2?3)=x3?3x，(|x|≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例3．已知f(x)二次实函数，且f(x+1)+f(x?1)=x2+2x+4,求f(x).解:设f(x)=ax2+bx+c，则f(x+1)+f(x?1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x?1)2+b(x?1)+c?2(a+c)=41313?=2ax+2bx+2(a+c)=x+2x+4比较系数得?2a=1?a=,b=1,c=∴f(x)=x2+x+2222?2b=2?224.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y=f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=lg(x+1),求f(x)解:∵f(x)为奇函数，∴f(x)的定义域关于原点对称，故先求x<0时的表达式。∵-x>0,∴f(?x)=lg(?x+1)=lg(1?x),∵f(x)为奇函数，∴lg(1?x)=f(?x)=?f(x)∴当x<0时f(x)=?lg(1?x)∴f(x)=??lg(1+x),x≥0??lg(1?x),x<0例5．一已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有f(x)+g(x)=1，求f(x),g(x).x?1解：∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(?x)=f(x),g(?x)=?g(x),不妨用-x代换f(x)+g(x)=∴f(?x)+g(?x)=1x?1………①中的x,11即f(x)－g(x)=?……②?x?1x+11x显见①+②即可消去g(x),求出函数f(x)=2再代入①求出g(x)=2x?1x?15.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f(x)的表达式例6：设f(x)的定义域为自然数集，且满足条件f(x+1)=f(x)+f(y)+xy,及f(1)=1,求f(x)解：∵f(x)的定义域为N，取y=1,则有f(x+1)=f(x)+x+1∵f(1)=1,∴f(2)=f(1)+2,f(3)=f(2)+3……f(n)=f(n?1)+nn(n+1)1以上各式相加，有f(n)=1+2+3+……+n=∴f(x)=x(x+1),x∈N22二、利用函数性质，解f(x)的有关问题利用函数性质，1.判断函数的奇偶性：例7已知f(x+y)+f(x?y)=2f(x)f(y),对一切实数x、y都成立，且f(0)≠0,求证f(x)为偶函数。证明：令x=0,则已知等式变为f(y)+f(?y)=2f(0)f(y)……①在①中令y=0则2f(0)=2f(0)∵f(0)≠0∴f(0)=1∴f(y)+f(?y)=2f(y)∴f(?y)=f(y)∴f(x)为偶函数。2.确定参数的取值范围例8：奇函数f(x)在定义域（-1，1）内递减，求满足f(1?m)+f(1?m2)<0的实数m的取值范围。解：由f(1?m)+f(1?m2)<0得f(1?m)<?f(1?m2)，∵f(x)为函数，∴f(1?m)<f(m2?1)??1<1?m<1?又∵f(x)在（-1，1）内递减，∴??1<m2?1<1?0<m<1?2?1?m>m?13.解不定式的有关题目例9：如果f(x)=ax2+bx+c对任意的t有f(2+t)=f2?t),比较f(1)、f(2)、f(4)的大小解：对任意t有f(2+t)=f2?t)∴x=2为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴又∵其开口向上∴f(2)最小，f(1)=f(3)∵在［2，＋∞)上，f(x)为增函数∴f(3)<f(4),∴f(2)&l