第二章线性规划的图解法线性规划问题的提出线性规划的基本概念线性规划的数学模型线性规划问题的标准形式问题的提出产品I决策变量（Decisionvariables）目标函数（Objectivefunction）约束条件（Constraintconditions）可行域（Feasibleregion)最优解（Optimalsolution)是问题中要确定的未知量，表明规划中的用数量表示的方案、措施，可由决策者决定和控制。第2步--定义目标函数MaxZ=50x1+100x2对我们有何限制?第3步--表示约束条件该计划的数学模型例2:某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙两种产品。每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如下表所示：问题：工厂应如何安排生产可获得最大的总利润？解：设变量xi为第i种（甲、乙）产品的生产件数（i＝1，2）。根据题意，我们知道两种产品的生产受到设备能力（机时数）的限制。对设备A：两种产品生产所占用的机时数不能超过65，于是我们可以得到不等式：3x1+2x2≤65；对设备B：两种产品生产所占用的机时数不能超过40，于是我们可以得到不等式：2x1+x2≤40；对设备C：两种产品生产所占用的机时数不能超过75，于是我们可以得到不等式：3x2≤75；另外，产品数不可能为负，即x1,x2≥0。同时，我们有一个追求目标，即获取最大利润。于是可写出目标函数z为相应的生产计划可以获得的总利润：z=1500x1+2500x2综合上述讨论，在加工时间以及利润与产品产量成线性关系的假设下，把目标函数和约束条件放在一起，可以建立如下的线性规划模型：目标函数Maxz=1500x1+2500x2约束条件s.t.3x1+2x2≤652x1+x2≤403x2≤75x1,x2≥0线性规划问题的共同特征建模过程1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；2.定义决策变量（x1，x2，…，xn），每一组值表示一个方案；3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确定最大化或最小化目标；4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题过程中必须遵循的约束条件线性规划问题的标准形式线性规划的标准形式有如下四个特点：目标最大化；约束为等式；决策变量均非负；右端项非负。对于各种非标准形式的线性规划问题，我们总可以通过以下变换，将其转化为标准形式:1、极小化目标函数的问题：设目标函数为Minf=c1x1+c2x2+…+cnxn则可以令z＝-f，该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，即Maxz=-c1x1-c2x2-…-cnxn但必须注意，尽管以上两个问题的最优解相同，但他们最优解的目标函数值却相差一个符号，即Minf＝-Maxz例：将以下线性规划问题转化为标准形式Minf=3.6x1-5.2x2+1.8x3s.t.2.3x1+5.2x2-6.1x3≤15.74.1x1+3.3x3≥8.9x1+x2+x3=38x1,x2,x3≥0其次考虑约束，有2个不等式约束，引进松弛变量x4≥0，剩余变量x5≥0。于是，我们可以得到以下标准形式：Maxz=-3.6x1+5.2x2-1.8x3s.t.2.3x1+5.2x2-6.1x3+x4=15.74.1x1+3.3x3-x5=8.9x1+x2+x3=38x1,x2,x3,x4,x5≥03.变量无符号限制的问题：在标准形式中，必须每一个变量均有非负约束。当某一个变量xj没有非负约束时，可以令xj=xj’-xj”其中xj’≥0，xj”≥0即用两个非负变量之差来表示一个无符号限制的变量，当然xj的符号取决于xj’和xj”的大小。4.右端项有负值的问题：在标准形式中，要求右端项必须每一个分量非负。当某一个右端项系数为负时，如bi<0，则把该等式约束两端同时乘以-1，得到：-ai1x1-ai2x2-…-ainxn=-bi。练习题：将以下线性规划问题转化为标准形式Minf=-3x1+5x2+8x3-7x4s.t.2x1-3x2+5x3+6x4≤284x1+2x2+3x3-9x4≥396x2+2x3+3x4≤-58x1,x3,x4≥0解：首先，将目标函数转换成极大化：令z=-f=3x1–5x2–8x3+7x4；其次考虑约束，有3个不等式约束，引进松弛变量x5,x6,x7≥0；由于x2无非负限制，可令x2=x2’-x2”,其中x2’≥0，x2”≥0；由于第3个约束右端项系数为-58，于是把该式两端乘以-1。于是，我们可以得到以下标准形式的线性规划问题：Maxz=3x1–5x2’+5x2”–8x3+7x4s.t.2x1–3x2’+3x2”+5x3+6x4+x5