1.微分的定义设函数y=f(x)在x0及近旁有定义,当自变量x在x0处有一个改变量x时,相应的函数值的改变量为y=f(x0+x)-f(x0).有时侯,计算y比较困难,就需要考虑其近似计算.这种近似计算,在x很小时就是函数y=f(x)在x0点的微分,见下例.设正方形的边长为x，其面积为y=x2.假定x有一个改变量x，这时正方形的边长为x+x，其面积为(x+x)2.考虑面积的改变量y=(x+x)2-x2=2xx+(x)2.当然，这个改变量y的计算还是比较简单的.当在x很小时，(x)2就更小，图中青色区域的面积.换句话说，改变量y主要取决于2xx，图中紫色区域的面积.或者说，y2xx.我们将2xx称为函数y=x2在x点的微分，记为dy.(d是微分英文单词的第一个字母，应编辑为“正体”)函数y=f(x)=x2在x点的微分dy=2xx.由于，所以.下面给出微分的一般定义.微分的定义假定函数y=f(x)在x点可导，当自变量x有一个改变量x时，将称为函数y=f(x)在x点的微分dy，即特别地，当y=x时，显然dy=dx.由于dy=1·x，所以dx=x.也就是说，自变量x的微分dx与自变量的改变量x相等.因此，函数y=f(x)在x点的微分2.微分的计算由于,所以计算函数y=f(x)的微分dy,只需要计算,再乘以dx即可.例(微分的计算)求f(x)=2x3+lnx的微分.Solution因为f(x)=2x3+lnx，所以于是要求大家要熟练计算函数的微分，最好能记住常见函数的微分公式，见下表.此表类似于函数的导数公式，它们在第三部分讨论“积分”内容时非常重要.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)在学习积分内容时，常常将求微分的过程反过来做，见下面的例子.例填空(1)d()=2dx.(2)d()=sinxdx.(3)d()=dx.(4)d()=exdx.Solution(1)因为,所以d(2x+C)=2dx.(2)因为,所以d(-cosx+C)=sinxdx.(3)因为,所以(4)因为,所以注意由于,所以在每个空里都加一个常数C.实际上，这个C在积分时要根据具体问题而定.学习任务五导数的应用1.函数的单调性假定函数y=f(x)在区间(a,b)内可导.若y=f(x)在区间(a,b)内单调递增，由下图知道，y=f(x)在区间(a,b)内每点的导数均大于0.同理，若y=f(x)在区间(a,b)内单调递减，由下图知道，y=f(x)在区间(a,b)内每点的导数均小于0.反过来亦成立,即有下述定理.定理假定函数y=f(x)在区间(a,b)内可导.(1)若在区间(a,b)内,则y=f(x)在区间(a,b)内单调递增.(2)若在区间(a,b)内,则y=f(x)在区间(a,b)内单调递减.利用上述结论，很容易知道f(x)=x3在(-,+)都是单调递增的(见下图)，因为在(-,+)内.对于函数f(x)=x2,由于,在(0,+)内是单调递增函数，在(-,0)内是单调递减函数(见下图).再次请大家注意,函数的单调性与所讨论的区间有关.对于给定的函数y=f(x)，如何讨论它在哪个区间单调递增、在哪个区间单调递减?讨论步骤如下.(1)求出y=f(x)的定义域.(2)求出y=f(x)导数为0的点和导数不存在的点，这些点将定义域分成若干个小区间.(3)在每个小区间内，分别考虑是大于0还是小于0，进而可得出在这个小区间是单调递增还是单调递减.使得的x称为函数f(x)的驻点.例(利用导数讨论函数的单调性)讨论的单调性.Solution(1)f(x)的定义域为(-,+).(2)所给函数f(x)在每个点都可导.因为,令,得出x=-2和x=2.(3)x=-2和x=2将定义域(-,+)分成三个小区间：(-,-2),(-2,2),(2,+).(-,-2):由于x<-2，所以,在(-,-2)上单调递增.(-2,2):由于-2<x<2，所以,在(-2,2)上单调递减.(2,+):由于x>2，所以,在(2,+)上单调递增.2.函数的极大值与极小值若在点x=x0的左边单调递增，在点x0的右边单调递减，则称x0为f(x)的极大值点，f(x0)称为极大值.若在点x=x0的左边单调递减，在点x0的右边单调递增，则称x0为f(x)的极小值点，f(x0)称为极小值.注意极大值与极小值是函数值，而极大值点与极小值点是自变量的取值.可以证明定理极值点是驻点或导数不存在的点.上述定理的逆不成立，如y=x3，在x=0时导数为0，但x=0不是y