扬州大学2023年硕士研究生招生考试初试试题（A卷）科目代码628科目名称量子力学满分150注意：①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！一、（25分）已知某一维运动的粒子在全空间范围内其状态波函数为xAeikx，其中A和k都是实数。（1）问：粒子的状态是束缚态，还是散射态？为什么？（2）求：粒子的概率流密度矢量。（3）求：粒子的动量和粒子的德布罗意波长。（4）如果满足周期性边界条件xLx，L为固定常数，求：动量的可能值。二、（25分）在量子力学中，力学量算符应该是厄米算符。（1）问：具有什么性质的算符就叫厄米算符？（2）证明：厄米算符的本征值为实数。（3）若算符Aˆ和Bˆ都是厄米算符，它们的对易关系为Aˆ,Bˆikˆ。证明：算符kˆ是厄米算符。三、（25分）在量子力学中，状态确定时，微观粒子力学量的测量值往往是随机的。（1）问：在什么情况下，力学量的测量值是确定的？此时测量值是什么？（2）问：状态确定，力学量的期望值是否确定？为什么？（3）问：为何有大量微观粒子组成的宏观体系的力学量测量值总是确定的？（4）若粒子在一维线性谐振子势场当中运动，状态波函数为科目代码628科目名称量子力学满分15013(x)xx，其中x是哈密顿量算符的本征函数。2n2n3n求：能量的可能值、概率和期望值。四、（25分）已知在A表象中，力学量算符Aˆ和Bˆ的矩阵为：1012Aˆ，Bˆ。0221（1）求：算符Bˆ的本征值和归一化的本征矢量。（2）求：在B表象中，算符Aˆ和Bˆ的矩阵形式。五、（25分）一体系未受微扰作用时Hˆ有三个不相等的能级：E、E和E，0010203今受到微扰Hˆ的作用，微扰矩阵元HHa、HHb、HHHc，12212332112233其它微扰矩阵元都为零，a、b、c是实数小量。（1）求：Hˆ表象中，Hˆ和Hˆ的矩阵形式。00（2）用微扰公式求：能量至二级修正。1六、（25分）在一维无限深势阱中有两个自旋为的全同费米子，两费米子间2无相互作用，每个费米子自旋有向上和向下两个可能的态。11-22（1）如果两个费米子都处在无限深势阱的第n个能量本征态上，问：分析n此时该全同粒子体系的有哪些可能的状态，写出体系各种可能的空间部分波函数、自旋部分波函数和完整的交换反对称波函数。（2）如果一个费米子处在态上，另一个费米子处在态上，且mn，问：mn分析此时该全同粒子体系的有哪些可能的状态，写出体系各种可能的空间部分波函数、自旋部分波函数和完整的交换反对称波函数。