课题数学归纳法与数列极限、等比数列的各项和教学目标理解数列极限的概念，掌握极限的四则运算，会求数列极限；掌握数学归纳法的步骤，并会用数学归纳法证明相应的命题；会求等比数列的各项和。教学内容数学归纳法一．知识点梳理：数学归纳法：数学归纳法是一种证明与正整数n有关的数学命题的重要方法.1.用数学归纳法证明命题的步骤为:①验证当n取第一个值时命题成立,这是推理的基础;②假设当n=k时命题成立.在此假设下,证明当时命题也成立是推理的依据;eq\o\ac(○,3)结论.2.探索性问题在数学归纳法中的应用（思维方式）:观察归纳猜想推理论证.3.特别注意：(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证时成立,注意不一定为1;(2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由k到k+1时命题的变化二.典型例题：【例1】在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,Sn－成等比数列(1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；(3)求数列{an}所有项的和命题意图本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识知识依托等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤采用的方法是归纳、猜想、证明错解分析(2)中，Sk=－应舍去，这一点往往容易被忽视技巧与方法求通项可证明{}是以{}为首项，为公差的等差数列，进而求得通项公式解∵an,Sn,Sn－成等比数列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)(*)(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得a3=－同理可得a4=－,由此可推出an=(2)①当n=1,2,3,4时，由(*)知猜想成立②假设n=k(k≥2)时，ak=－成立故Sk2=－·(Sk－)∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0∴Sk=(舍)由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)由①②知，an=对一切n∈N成立(3)由(2)得数列前n项和Sn=,∴S=Sn=0练习：1.用数学归纳法证明>n2(n∈N,n5),则第一步应验证n=;2.用数学归纳法证明:时,第一步验证不等式成立；在证明过程的第二步从n=k到n=k+1成立时,左边增加的项数是.3、用数学归纳法证明“当为正奇数时,能被整除”第二步的归纳假设应写成()A.假设正确,再推正确B.假设正确,再推正确C.假设正确,再推正确D.假设正确,再推正确4、用数学归纳法证明,在验证时,左边所得的项为()A.1B.1+C.D.5、用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）·…·（n+n）=2n·1·3·…·（2n－1）”，从“k到k+1”左端需增乘的代数式为（）k+1B.2（2k+1）C.D.6、用数学归纳法证明“当是31的倍数”时,时的原式是,从到时需添加的项是。【例2】已知,证明:(该题主要考查了学生应用数学归纳法来证明的掌握情况)练习：1.求证：【例3】用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除，其中n∈N*【巩固练习】1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边计算所得的项是（）B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a32已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()A30B26C36D63用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证()An=1Bn=2Cn=3Dn=44观察下列式子…则可归纳出________5已知a1=,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为________，由此猜想an=________极限一、知识回顾1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a，那么就说数列{an}以a为极限.注：a不一定是｛an｝中的项.2、几个常用的极限：（1）C=C（C为常数）;（2）=0;（3）qn=0（|q|＜1）.（4）=（k∈N*,a、b、c、d∈R且c≠0）;（5）3、数列极限的四则运算法则：设数列｛an｝、｛bn｝，当an=a,bn=b时（an±bn）=a±b;（an·bn）=a·b;=（b≠0）.4、无穷等比数列：若无穷等比数列，其所有项的和（各项的和）为：5、常见的数列极限可以归纳为两大类:第一类是两个关于自然数n的多项式的商的极限:当时,上述极限不存在.第二类是关于n的指数式的极限:当或时,上述极限不存在.二、例题解析例1、（）=_