不等式和它的基本性质典型例题例1．列出下列不等式(1)x的立方的3倍是非负数．分析：非负数指的是正数或零，也就是大于或等于零的数，不大于就是小于或等于，用符号表示即“≤”．这两个概念清楚了，问题便迎刃而解了．顺便说明：不小于就是大于或等于，符号表示即为“≥”．解：(1)3x3≥0例2．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式：(1)x－3＜8(2)3x＜2x＋4解：(1)根据不等式基本性质1，不等式的两边都加上3，不等号的方向不变，所以x－3＋3＜8＋3x＜11；(2)根据不等式基本性质1，不等式的两边都减去2x，不等号的方向不变，所以3x－2x＜2x＋4－2xx＜4；(3)根据不等式基本性质3，不等式的两边都除以－8，不等号的方向改变，所以(4)根据不等式基本性质2，不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，所以x＜－6．说明：一定要注意不等式基本性质3的运用，不等式的两边都除以(或乘以)同一个负数，不等号的方向改变．例3．已知a＜b，求c是哪些数时，(1)ac＜bc；(2)ac＞bc；(3)ac＝bc．分析：根据不等式的基本性质，与a＜b对比，(1)的不等号方向不变．(2)的不等号方向改变，(3)是等号．从而可确定c．答案：(1)c＞0；(2)c＜0；(3)c=0．例4．填空题(1)如果a＜b，那么a＋5___b＋5；(2)如果a＜b，那么3a___3b；(3)如果a＜b，那么－5a___－5b；(6)如果a＞b，那么a－b___0；(7)如果a＜b，那么a－b___0；(8)如果a＜b，那么－(4－3a)___－(4－3b)．分析：本例即为运用不等式基本性质将不等式正确变形，特别注意基本性质3的正确运用．解：(1)∵a＜b，∴a＋5＜b＋5．(性质1)(2)∵a＜b，∴3a＜3b．(性质2)(3)∵a＜b，∴－5a＞－5b，这是因为不等式两边都乘以－5，不等号方向改变．(性质3)(性质3)(6)∵a＞b，∴a－b＞0．(性质1)(7)∵a＜b，∴a－b＜0．(性质1)(8)∵a＜b，∴－3a＞－3b，∴4－3a＞4－3b，∴－(4－3a)＜－(4－3b)．由a＜b经过三次变形，三次运用不等式的性质(其中两次运用性质3)，最后变形为－(4－3a)＜－(4－3b)．例5．用不等号填空：(1)若a＞b，则－2＋a____b－2；(2)若a≤b，则－5a＋1____－5b＋1；(4)若a＞b，c≤0，则bc____ac；(5)若a＞b，则ac2____bc2．分析：由已知条件不等式，根据哪条性质变形得到所求式子的两边．如(3)根答案：(1)＞(2)≥(3)＜(4)≥(5)≥例6．比较大小：(1)2c与3c；(2)a＋b与a－b．分析：本题有两种思路，其一，可作差，根据差的正、负、零确定大小关系．如3c－2c=c，再由c的情况来比较．其二，根据不等式的性质，由2＜3，依据c的情况确定2c与3c的大小．由b的情况确定b与－b的大小，再比较a＋b与a－b．答案：(1)c＞0时，2c＜3c，c=0时，2c=3c，c＜0时，2c＞3c．(2)b＞0时，a＋b＞a－b，b＝0时，a＋b=a－b，b＜0时，a＋b＜a－b．*例7解：当a=0时，∵a无倒数∴无法比较；说明：怎样想到以－1、0、1作为分点来考虑问题呢？因为这三个数的倒数具有特殊性，±1的倒数就是它们本身，而0的倒数无意义．故以这三个数作为分点，把实数分为若干部分，再比较大