巧用不动点求两类递推数列的通项公式（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）巧用不动点求两类递推数列的通项公式聂文喜若满足方程，则称是函数的一个不动点，利用不动点可将某些由递推关系所确定的数列转化为等差、等比数列。下面举例说明。结论1若，为的不动点，满足，则是公比为a的等比数列。证明：因为为的不动点，所以，所以，所以，所以数列是公比为a的等比数列。例1.（2005年高考·北京卷）设数列的首项，且。记。判断是否为等比数列。解：。令，求出不动点，由结论1得：数列是公比为的等比数列。故是首项为，公比为的等比数列。例2.（2005年高考·山东卷）已知数列的首项为，前n项和为，且，求的通项公式。解：由已知，得当时，，两式相减得当时，，即，也即又，所以，从而＋1，故对成立。令，求出不动点。由结论1得：数列{}是公比为2的等比数列，所以＝，故。结论2设，数列满足，且。（1）若有两个相异不动点，则数列是公比为的等比数列；（2）若只有唯一不动点，则数列是等差数列。证明：（1）因为由题设知。同理。所以所以数列是公比为的等比数列。（2）因为为的唯一不动点，所以＝x，即有唯一解，所以且＝。所以，所以数列是公差为的等差数列。例3.（2005年高考·重庆卷）设数列满足（），且。求数列的通项公式及数列的前n项和。解：由已知得，由方程，求出不动点，。于是，所以数列是公比为的等比数列所以，解得故数列的前n项和为例4.已知数列满足。解：由方程，求出唯一不动点，于是，所以数列是公差为的等差数列。所以解得。求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法mw.w例1在数列{}中，,，求通项公式.解：原递推式可化为：则，……，逐项相加得：.故.二、作商求和法例2设数列{}是首项为1的正项数列，且（n=1,2,3…），则它的通项公式是=▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为：=0∵＞0，则……，逐项相乘得：，即=.三、换元法例3已知数列{}，其中，且当n≥3时，，求通项公式（1986年高考文科第八题改编）.解：设，原递推式可化为：是一个等比数列，，公比为.故.故.由逐差法可得：.例4已知数列{}，其中，且当n≥3时，，求通项公式。解由得：，令，则上式为，因此是一个等差数列，，公差为1.故.。由于又所以，即四、积差相消法例5（1993年全国数学联赛题一试第五题）设正数列，，…，，…满足=且，求的通项公式.解将递推式两边同除以整理得：设=，则=1，，故有⑴⑵…………(由⑴+⑵+…+(得=，即=.逐项相乘得：=，考虑到，故.五、取倒数法例6已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式。解将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.六、取对数法例7若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁（2002年上海高考题）.解由题意知＞0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列，，即.七、平方（开方）法例8若数列{}中，=2且（n），求它的通项公式是.解将两边平方整理得。数列{}是以=4为首项，3为公差的等差数列。。因为＞0，所以。八、待定系数法待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下：1、（A、B为常数）型，可化为=A（）的形式.例9若数列{}中，=1，是数列{}的前项之和，且（n），求数列{}的通项公式是.解递推式可变形为（1）设（1）式可化为（2）比较（1）式与（2）式的系数可得，则有。故数列{}是以为首项，3为公比的等比数列。=。所以。当n，。数列{}的通项公式是。2、（A、B、C为常数，下同）型，可化为=）的形式.例10在数列{}中，求通项公式。解：原递推式可化为：①比较系数得=-4，①式即是：.则数列是一个等比数列，其首项，公比是2.∴即.3、型，可化为的形式。例11在数列{}中，，当，①求通项公式.解：①式可化为：比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.①式可化为：则是一个等比数列，首项=2-2（-1）=4，公比为3.∴.利用上题结果有：.4、型，可化为的形式。例12在数列{}中，，=6①求通项公式.解①式可化为：②比较系数可得：=-6，，②式为是一个等比数列，首项，公比为.∴即故.九、猜想法运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递推式求出……，然后猜想出满