第十一章圆锥曲线第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c1:x2+y2=a2,c2:x2+y2=b2,a,b∈R+且a≠b。从原点出发的射线交圆c1于P，交圆c2于Q，过P引y轴的平行线，过Q引x轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0,y0)的切线方程为x0xy0y+2=1；a2b2）斜率为k的切线方程为y=kx±a2k2+b2；3）过焦点F2(c,0)倾斜角为θ的弦的长为l=2ab2a2?c2cos2θ。双曲线：过焦点的倾斜角为θ的弦长是2ab2a2?c2cos2θ。抛物线常用结论：若P(x0,y0)为抛物线上任一点，2）过点P的切线方程为y0y=p(x+x0)；3）过焦点倾斜角为θ的弦长为2p1?cos2θ。13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P，若0<e<1，则点P的轨迹为椭圆；若e>1，则点P的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为ρ二、方法与例题=ep1?ecosθ。例2已知P，P'为双曲线C：x2y2?=1右支上两点，PP'延长线交右准线于K，PF延长线交双曲a2b21线于Q，1为右焦点）（F。求证：∠P'F1K=∠KF1Q.[证明]记右准线为l，作PD⊥l于D，P'E⊥l于E，因为P'E//PD，则|PK||P'K|=，又由定|PD||P'E|义|PF1||PD||PK||PF1||P'F1|，所以，由三角形外角平分线定理知，F1K=e===|PD||P'E||P'F1||P'E||P'K|K=∠KFQ。1为∠PF1P的外角平分线，所以∠P'F12．求轨迹问题。例3已知一椭圆及焦点F，点A为椭圆上一动点，求线段FA中点P的轨迹方程。利用定义，以椭圆的中心为原点O，焦点所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设椭圆方程：[解法一]x2y2+a2b2=1（a>b>0）.F坐标为(-c,0).设另一焦点为F'。连结AF'，OP，则OP//=1AF'。所以2|FP|+|PO|=1(|FA|+|AF'|)=a.2c,0)平移，得到中心2所以点P的轨迹是以F，O为两焦点的椭圆（因为a>|FO|=c），将此椭圆按向量m=(在原点的椭圆：x2y2+=1。由平移公式知，所求椭圆的方程为a2b244c4(x+)222+4y=1.a2b2[解法二]相关点法。设点P(x,y),A(x1,y1)，则x=x1?cy,y=122，即x1=2x+c,y1=2y.又因为点A在c??4?x+?2222x1y1xy4y22??+2=1。它表示椭圆2+2=1上，所以2+2=1.代入得关于点P的方程为ababa2b中心为??例42?c?,0?，焦点分别为F和O的椭圆。?2?长为a,b的线段AB，CD分别在x轴，y轴上滑动，且A，B，C，D四点共圆，求此动圆圆心P的轨迹。[解]设P(x,y)为轨迹上任意一点，B，D的坐标分别为A(xA，C，aabb,0),B(x+,0),C(0,y-),D(0,y+),2222x2?a2b2=y2?44，即记O为原点，由圆幂定理知|OA|?|OB|=|OC|?|OD|，用坐标表示为a2?b2.x?y=422当a=b时，轨迹为两条直线y=x与y=-x；当a>b时，轨迹为焦点在x轴上的两条等轴双曲线；当a<b时，轨迹为焦点在y轴上的两条等轴双曲线。例5在坐标平面内，∠AOB=π3，AB边在直线l:x=3上移动，求三角形AOB的外心的轨迹方程。[解]设∠xOB=θ,并且B在A的上方，则点A，B坐标分别为B(3,3tanθ),A(3,3tan(θ-π3)),设外心为P(x,y)，由中点公式知OB中点为M??33?,tanθ?。?22?再由PM由外心性质知y=3?π????tanθ+tan?θ???.?2?3????⊥OB得y?3tanθ23x?2×tanθ=-1。结合上式有tan(θ?又π2?3?)?tanθ=??x?.33?2??①tanθ+tan(θπ3)=2y.3②又3=tanπ??π??=tan?θ??θ???.33????所以tanθ-tan(θ?π3)=?π???3