教学内容与教学目标本节教学目的是使学生掌握正弦线、余弦线和正切线，重点是掌握用这几种函数线分析三角函数的有关问题、难点是对有向线段表示实数的理解．建议教学中改用动态图形演示三角函数线，由学生观察各三角函数线的特征．课题引入三角函数线是用几何手段，形象地表示三角函数的重要工具，又是用数形结合思想解题的好帮手．用三角函数线反映三角函数的性质直观、形象，便于理解和使用．它的产生过程及过程中蕴含的思想如下（以正弦线为例）定义：简化定义的可能性及必要性时时单位圆正弦线应用只与终边位置有关，与点P在终边上的位置无关知识讲解本节课学生接受起来有一定难度，讲授时注意讲清下几点:1．单位圆中的三角函数线是有向线段，它与平面几何中所遇到的线段不同，它不但有长度，还有方向，我们引一条直线MN，点A在直线MN上移动到达点B，AB就是一条有向线段，记作，对于直线MN，可以规定某一个方向为正方向（例如数轴），则称MN为轴，若与轴的方向一致，就规定为“正”；若与轴的方向相反，就规定为“负”．根据与轴MN的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量，记作AB，要强调AB不能写成BA，因为AB=－BA2．单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向可以用来表示三角函数值，称它们为三角函数线（本课只讲正弦线、余弦线、正切线），三角函数线既然是有向线段，在用字母表示这些线段时，就要注意它们的方向，分清始点和终点，书写顺序不能颠倒，为此，我们规定：凡由原点出发的线段，以原点为始点；不从原点出发的线段，以函数线与坐标轴的交点为始点，如图4-13中，MP叫做角的正弦线，AT叫做角的正切线，其中，（1）正弦线、正切线的方向从纵坐标轴一致（向上）时为正，同纵坐标轴反向（向下）时为负，（2）余弦线的方向同横坐标轴一致（向右）时为正，同横坐标轴反向（向左）时为负．3．三角函数线为什么可以表示三角函数值，是学生理解此概念的关键，教师务必使学生清楚理解：正弦线是有向线段MP，而有向线段MP的符号和点P的纵坐标y的符号相同，且MP的量度等于，又，所以．因此，可说明正切线是有向线段AT，设点T的坐标为，由图4-13可以看出，∽，并且当x和y同号时，和也同号；当x和y异号时，和也异号，又=1，所以，要强调指出，由=1可知，不管是第几象限角，作正切线时，都要从单位圆与x轴正半轴的交点A处画起．4．最后说明角的终边落在轴上时的情况，当角的终边在x轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．例题分析例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线（1）；（2）；（3）.分析：本例是为了使学生掌握各象限（尤其是第二、三、四象限）内角的正弦线、余弦线、正切线的画法，属于基础题．解（1）如图4-14（2）如图4-14（3）如图4-14例2．已知角的正弦线长度为，且方向与y轴的正向相反，求角．分析：此例是利用各象限内正弦线长度相等的角之间的关系来求角的问题，比例1灵活一些．解：先求0~2之间的相等在第一象限，，，第三象限，与OP关于原点或中心对称的，有，在第四象限，与OP关于x轴对称的，有，与符合题意.∴或例3．角是第一象限角，求证：分析：本例是利用单位圆中的三角函数线，采用数形结合的方法，证明三角不等式的题目，证法巧妙，使学生初步体验到三角函数线是有用的．解：在第一象限作出角的正弦线、余弦线，如图4-15，因为是第一象限角，所以，故，在中，有∴例4．若，比较、、的大小．分析：本例仍是三角函数线的应用题，由于时，、、都大于0，故可以直接观察角的正弦线、余弦线、正切线的长短来比较三者的大小．解：如图4-16，由于，知，所以.∵，∴．练习与讲评1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线（1）；（2）；（3）；（4）．2．以5cm为单位长度作单位圆，分别作出以210º、315º角的正弦线、余弦线、正切线量出它们的长度，从而写出这些角的正弦值、余弦值、正切值．答案1．（图略）2．（图略）讲评：通过练习，检查正弦线、余弦线、正切线的作法是否已经掌握，尤其是正切线的位置是否正确？小结与总结用单位圆中的正弦线、余弦线、正切线表示正弦、余弦、正切函数的值，这样就使数和形更紧密的结合起来，为我们进一步研究正弦、余弦、正切函数的图象与性质铺平了道路．习题A组1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：（1）；（2）；（3）；（4）．2．若，比较、的大小．B组1．利用三角函数线，求满足下列条件的角（）．（1）；（2）；（3）．2．利用三角函数线，求满足下列条件的角：（1）角的正弦线长