1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。例1.己知：如图1所示，中，ZC=90°,AC=BC,AD=DB,AE=CF。求证：DE=DF图1分析：由AA8C是等腰直角三角形可知，ZA=ZB=45°,由D是AB中点，可考虑连结CD,易得CD=AD,ZDCF=45。°从而不难发现ADCF^ADAE证明：连结CDAC=BC:.ZA=ZB•/ZACB=90°,AD=DB：.CD=BD=AD,ZDCB=ZB=ZAAE=CF,ZA=，DCB,AD=CD:.AADE=NCDF:.DE=DF说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD,因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。此题亦可延长ED到G,使DG=DE,连结BG,证是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨-试。例2.己知：如图2所示，AB=CD,AD=BC,AE=CF。求证：ZE=ZF【试题答案】证明：取CD的中点F,连结AFAC=AD二AFLCD:.ZAFC=ZCDE=90。又21+24=90。，21+23=90。Z4=Z3-AC=CE:.\ACF^\CED{ASA):.CF=EDDE=-CD分析：此题从和图形上看好象比拟简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截K补短”的手法。“截即将长的线段截成两局部，证明这两局部分别和两条短线段相等：“补短”即将-条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。证明：延长CA至E,使CE=CB,连结ED在和中，CB=CE•ZBCD=ZECDCD=CD:.\CBD三\CED:.ZB=ZEZBAC=2>BABAC=2ZE又ZBAC=ZADE+ZE:.ZADE=ZE,AD=AE:.BC=CE=AC+AE=AC+AD证明：延长PM交CQ于R•/CQ1AP,BPLAP:.BP!ICQ:.ZPBM=ZRCM又BM=CM,/BMP=ZCMR:.\BPM=NCRM:.PM=RM:.QM是Rt\QPR斜边上的中线MP=MQ初一下册几何练习题1.如图1,推理填空：VZA=Z(己知)，TOC\o"1-5"\h\z・.・AC〃ED():VZ2=Z(己知)，・.・AC〃ED()；VZA+Z=180°(己知)，・.・AB〃FI)()；VZ2+Z=180°()，・.・AC〃ED(2.如图9,2.如图9,ZD=ZA,ZB=NFCB,求证:ED〃CF.3.如图3,Z1：Z2：Z3=2：3：4,ZAFE=60°,ZBDE=120°,写出图中平行的直线，并说明理由.图24.如图4,直线AB、CD被EF所截,4.如图4,直线AB、CD被EF所截,Z1=Z2,ZCNF=ZBMEO求证：AB〃CD,MP〃NQ.如图5,ZABE+ZDEB=180°,Z1=Z2,求证：ZF=ZG.如图10,DE/7BC,ZD:ZDBC=2：1,Z1=Z2,求ZDEB的度数.B图6图8如图11,己知AB〃CD,试再添上一个条件，使匕1=Z2成立.求给出两个以上答案，并选择其中一个加以证明）如图12,NABD和NBDC的平分线交于E,BE交CD于点F,Z1+Z2=90°.求证：(1)AB〃CD；(2)Z2+Z3=90°.：如图：ZAHF+ZFMD=18O°,GH平分ZAHM,MN平分ZDMHO求证：GH〃MN。己知：如图，匕4=匕4。占，=4DF,且ZZ=Z5.求证：EC〃DF.如图，ZB=ZE,AB=EF,BD=EC,那么AABC与Z\FED全等吗？为什么？如图，点A、C、B、D在同一直线上,AM=CN,BM=DN,NM=NN,试说明:AC=BD.如下图，AB=DC,AE二DF,CE=BF,试说明:AF=DE.11、如图，在△ABC和ZXDBC中，Z1=Z2,Z3=Z4,P是BC上任一点。求证：PA=PDo如图(12)AB〃CD,OA=OD,点F、D、0、A、E在同一直线上,AE=DF°求证：EB〃CF。如图（13）AABC^AEDCo求证:BE=AD。（图13）C如图:AB=DC,BE=DF,AF=DE°求证：ZXABE丝△DCF。如图；AB=AC,BF=CFo求证：ZB=ZC.如图：AB〃CD,ZB=ZD,求证：AD〃BC。如图：AD=BC