河北省数学高二上学期自测试卷及答案指导一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、若函数fx=x3−3x+1，则f−1的值为（）A.2B.-2C.0D.3答案：A解析：将x=−1代入函数fx=x3−3x+1，得到f−1=−13−3−1+1=−1+3+1=3。故选项A正确。2、已知函数fx=ax2+bx+c（a≠0），且f1=1，f−1=−1，f2=4，求函数fx的解析式。A.fx=x2+2x+1B.fx=x2+2xC.fx=x2+xD.fx=x2−x答案：D解析：根据题意，我们可以列出以下方程组：a+b+c=1a−b+c=−14a+2b+c=4将第一个方程和第二个方程相加，消去b，得到2a+2c=0，即a+c=0。将第三个方程减去第一个方程的两倍，消去b，得到2a+c=2。将a+c=0代入2a+c=2，解得a=1，c=−1。将a=1和c=−1代入a+b+c=1，解得b=1。所以，函数fx的解析式为fx=x2−x。3、若函数fx=logax+1（其中a>0，a≠1）在区间[0,1]上单调递增，则实数a的取值范围是：A.0<a<1B.a>1C.a<0D.a=1答案:B.a>1解析:对于对数函数fx=logax+1，其单调性取决于底数a的大小。当a>1时，函数在定义域内单调递增；当0<a<1时，函数单调递减。由于题目条件指出该函数在区间[0,1]上单调递增，故底数a必须大于1。选项C和D明显不符合对数函数定义的要求，因此正确答案为B.a>1。4、若函数fx=1x−2的定义域为D，则D为：A.−∞,2∪2,+∞B.−∞,2]∪[2,+∞C.−∞,2∪[2,+∞)D.(−∞,2]∪2,+∞答案：A解析：由于分母不能为零，因此x−2≠0。解得x≠2，所以函数fx的定义域为−∞,2∪2,+∞。选项A正确。5、已知函数fx=x3−3x2+4x，其图像的顶点坐标为（）A.0,0B.1,2C.2,2D.1,0答案：D解析：首先对函数fx=x3−3x2+4x求导得到f′x=3x2−6x+4。令f′x=0，解得x=1或x=23。再求二阶导数f″x=6x−6，将x=1代入得f″1=0，说明x=1是函数的拐点，而非顶点。将x=23代入fx得f23=827−43+4=7627，因此顶点不在该点。将x=1代入fx得f1=13−3×12+4×1=2，所以顶点坐标为1,2，排除选项B和C。最后，由于顶点坐标的横坐标为1，纵坐标不为0，排除选项A，故正确答案为D。6、已知函数fx=3x2−4x+1，则其顶点坐标为：A.(2/3,-1/3)B.(-2/3,1/3)C.(1/3,-2/3)D.(-1/3,2/3)答案：A解析：此题考查的是二次函数的性质。对于一般形式的二次函数fx=ax2+bx+c，其顶点坐标可以通过公式−b2a,f−b2a来求得。对于给定的函数fx=3x2−4x+1，我们有a=3,b=−4，所以顶点的x坐标为−−42⋅3=23。将x=23代入原函数得到顶点的y坐标：f23=3232−423+1我们可以计算一下具体的值来验证答案。通过计算得到顶点的y坐标约为−13（即-0.33333333333333326的简化形式）。因此，该二次函数的顶点坐标为23,−13，与选项A匹配。这证实了我们的答案A.(2/3,-1/3)是正确的。7、在函数y=x3−3x2+4x中，若y=0，则方程的解的个数是（）A.1B.2C.3D.4答案：B解析：首先，我们求出函数的导数y′=3x2−6x+4。接下来，令导数等于0，即3x2−6x+4=0，这是一个一元二次方程。我们可以用求根公式或者配方法来解这个方程。这里我们使用求根公式：x=−b±b2−4ac2a将a=3，b=−6，c=4代入上述公式，得到：x=6±36−4⋅3⋅42⋅3x=6±36−486x=6±−126x=6±23i6x=1±3i3这里我们得到两个复数解，但这并不影响原函数的解的个数。由于原函数是一个三次多项式，根据代数基本定理，它一定有三个解（包括实数解和复数解）。因此，原方程y=x3−3x2+4x有三个解。选项B正确。8、已知函数f(x)=(x-1)^2+2，则f(x)的对称轴为：A.x=1B.x=2C.y=1D.y=2答案：A解析：函数f(x)=(x-1)^2+2是一个二次函数，其标准形式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。由题意知，顶点坐标为(1,2)，因此对称轴为x=1。二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、设函数fx=sin2x+cosx，则下列哪些选项是正确的？A.函数fx的一个周期是2π.B.函数fx