学习导航学习目标重点难点重点:利用组合数公式求值.难点:组合的含义的理解.做一做1.有下列实际问题:①三人互相握手的次数;②三人抬水,每两人抬一次的不同抬法;③三点不共线,可确定直线的条数.其中属于组合问题的有()A.①②B.①③C.②③D.①②③所有不同组合做一做答案:21190题型一组合的概念判断下列问题是组合问题还是排列问题:(1)设集合A＝{a,b,c,d,e},则集合A的子集中含有3个元素的有多少个?【解】(1)因为本问题与元素顺序无关,故是组合问题.(2)因为甲站到乙站,与乙站到甲站车票是不同的,故是排列问题,但票价与顺序无关,甲站到乙站,与乙站到甲站是同一种票价,故是组合问题.【名师点评】区分排列与组合问题,关键是利用排列与组合的定义,组合是“只选不排、并成一组,与顺序无关”.只要两个组合中的元素完全相同,则不论元素的顺序如何,都是相同的组合.只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合.变式训练1.判断下列问题是排列问题,还是组合问题.(1)从1,2,3,…,9这九个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三位数共有多少个?(2)从1,2,3,…,9这九个数字中任取3个,然后把这三个数字相加得到一个和,这样的和共有多少个?解:(1)当取出3个数字后,如果改变三个数字的顺序,会得到不同的三位数,此问题不但与取出元素有关,而且与元素的安排顺序有关,是排列问题.(2)取出3个数字之后,无论怎样改变这三个数字之间的顺序,其和均不变,此问题只与取出元素有关,而与元素的安排顺序无关,是组合问题.【名师点评】有关组合数的计算问题,一般先用组合数的两个性质化简,再用组合数公式的乘积形式计算,但当组合数中含有字母时,要确定字母的范围,这往往是解题的关键.变式训练题型三简单的组合应用题一个口袋内装有大小相同编号不同的7个白球和1个黑球.(1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法?(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法?(3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?【名师点评】解简单的组合应用题,要首先判断它是不是组合问题,即取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”,其次要看这件事是分类完成还是分步完成.变式训练3.盒子中放有编号为1,2,3,4,5的形状和大小完全相同的5个白球和5个黑球,从中任意取出3个,则取出球的编号互不相同的方法种数为________.方法技巧1.组合与排列的异同:组合与排列的相同点是“从n个元素中任意取出m个元素”,不同点:组合“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”,因此区分某一问题是组合还是排列,关键是看取出的元素有无顺序.失误防范组合数公式中上标是自然数,下标是正整数,且上标不大于下标,解题时要注意这些约束条件.