第三十八讲圆锥曲线的离率问题A组一、选择题1．（2017年高考全国3卷理）已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A．B．C．D．【答案】A【解析】以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，即，即，，故选A.2．已知双曲线，抛物线，与有公共的焦点，与在第一象限的公共点为，直线的倾斜角为，且，则关于双曲线的离心率的说法正确的是（）A.仅有两个不同的离心率且B.仅有两个不同的离心率且C.仅有一个离心率且D.仅有一个离心率且【答案】C【解析】的焦点为，双曲线交点为，即，设横坐标为，则，，可化为，，只有一个根在内，故选C.3．已知是双曲线的左右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点,交另一条渐近线于点，且,则该双曲线的离心率为A.B.C.D.【答案】A【解析】由到渐近线的距离为，即有，则，在中，，化简可得，即有，即有，故选A.4．设是双曲线的右顶点，是右焦点，若抛物线的准线上存在一点，使，则双曲线的离心率的范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】抛物线的准线方程为,正好是双曲的右准线.由于AF=,所以AF弦,圆心,半径圆上任取一点P,,现在转化为圆与准线相交问题.所以,解得.填A.5．中心为原点的椭圆焦点在轴上，为该椭圆右顶点，为椭圆上一点，，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】设椭圆标准方程为，设P(x,y)，点P在以OA为直径的圆上。圆的方程：，化简为，可得。则所双可得，选B.6．设点分别为双曲线：的左、右焦点，若在双曲线左支上存在一点，满足，点到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意知，可知是等腰三角形，在直线的投影是中点，可得，由双曲线定义可得，则，又，知，可得，解得．故本题答案选．7．如图，两个椭圆的方程分别为和（，），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线、，若、的斜率之积恒为，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意知，外层椭圆方程为，设切线的方程为代入内层椭圆消去得:由化简得同理得所以选A.8．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为A、B，虚轴的上、下端点分别为C、D，若线段BC与双曲线的渐近线的交点为E，且，则双曲线的离心率为A.B.C.D.【答案】C【解析】根据双曲线的性质可以得到，，，，双曲线的渐近线方程，直线方程：，联立得到，即点，所以是线段的中点，又因为，所以，而，，故，因为，所以，因为，即，所以，故选C9．已知是双曲线上的三个点，经过原点,经过右焦点,若且,则该双曲线的离心率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】做出如图因为经过原点,经过右焦点,可得为矩形，设AF=a,则根据双曲线定义可知，在得得10．已知分别为双曲线的右焦点和右顶点，过作轴的垂线在第一象限与双曲线交于点，的延长线与双曲线在第一象限的渐近线交于点，若,则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】过Q作QR⊥x轴与R，如图，由题意设F（c，0），则由OA=a得AF=c-a，将x=c代入双曲线得P，则直线AP的斜率为，所以直线AP的方程为，与渐近线联立，得x=，所以AR=，根据相似三角形及，得AF=）AR，即代入，得11．已知双曲线（，），过其左焦点作轴的垂线，交双曲线于、两点，若双曲线的右顶点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】是双曲线通径，，由题意，即，，即，解得（舍去），故选D．12．已知点分别是双曲线的左右两焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，若是以为顶角的等腰三角形，其中，则双曲线离心率的取值范围为A.B.C.D.【答案】A【解析】因为为等腰三角形，设，由为双曲线上一点，，由为双曲线上一点，，再中，由余弦定理得,所以，所以又因为，所以，所以，故选A.二、填空题13．设、分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为__________．【答案】【解析】设MF1=s,MF2=t，由椭圆的定义可得s+t=2a1，由双曲线的定义可得s−t=2a2，解得s=a1+a2,t=a1−a2，由∠F1MF2=90°，运用勾股定理，可得s2+t2=4c2，即为，由离心率的公式可得，由,可得，据此有：由a2>b1,可得，则双曲线的离心率的取值范围为.14．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，若直线与圆相切于点且，则双曲线的离心率值为__________．【答案】【解