第二十九讲数列的通项公式与前n项和A组一、选择题1．已知是等差数列，公差不为零，前项和是.若，，成等比数列，则QUOTE\*MERGEFORMATA.，B.，C.，D.，解：由于是等差数列，故，由于，，成等比数列，则.故，化简可得:.因此有:,.2．设，则()A．4B．5C．6D．10解：若则，∴.故选A3．设等差数列的前项和为，且满足，则（）A．B．C．D．解：设公差为，则所以，所以所以选C4．已知数列满足，且，则数列的前6项和（）A.6B.7C.8D.9解：因为，所以，两边同时除以得，又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，从而，，故选B二、填空题5．（2017年全国2卷理）等差数列的前项和为，，，则．【答案】【解析】设等差数列的首项为，公差为，所以，解得，所以，那么，那么.6．数列满足，则________.解：由已知得，，从而，，，，，从而，所以7．若数列{}的前n项和为，则数列{}的通项公式是=______.解：当=1时，==，解得=1，当≥2时，==－()=，即，∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=.三、解答题8．在数列中，，（）.（Ⅰ）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．解：（Ⅰ），所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以.（Ⅱ）因为，所以9．设是数列的前项和.已知，.(I)求数列的通项公式；(II)设，求数列的前项和.解：(I)由，可知.可得即由于，可得.又，解得（舍去）.所以是首项为，公差为的等差数列，通项公式为.(II)由可知：设数列的前项和为，则.10．设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．(I)求数列，的通项公式；(II)当时，记，求数列的前项和．解：(I)由题意有，即解得或故或其中.(II)由，知，，故，于是，①.②①-②可得，故.11．已知数列满足=1，.（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；（Ⅱ）证明：.解：（I）由得。又，所以是首项为，公比为3的等比数列。，因此的通项公式为.（Ⅱ）由（I）知因为当时，，所以。于是.所以B组一、选择题1．等差数列的前项和为，已知，,则（）（A）38（B）20（C）10（D）9解：因为是等差数列，所以，，由，得：2－＝0，所以，＝2，又，即＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10，故选.C。2．已知等差数列的首项，公差，为数列的前项和.若向量，，且，则的最小值为（）A．B．C．D．解：由，，且,得,即,又,所以,从而,,则,当且仅当,即时,上式等号成立,所以的最小值为,故选A.3．已知数列的前项和为，首项，且满足，则等于()A.B.C.D.解：，由已知可得；；；……，可归纳出.故选D.4．已知数列的通项公式为，其前项和为，则（）A．B．C．D．解：由题意可得，当时，，当时，，当时，，当时，，∴，∴.故选D.二、填空题5．设是数列的前项和，且，，则______.解：由已知得，等式两端同时除以得，，即是以为首项，为公差的等差数列，则，.6．（2016年浙江理）设数列的前项和为.若，，，则，.解：由，得；由，故解得.再由，得，从而，即，又，所以，从而所以填：，三、解答题7．（16年全国II理）为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的前1000项和．【解析】⑴设的公差为，，∴，∴，∴．∴，，．⑵记的前项和为，则．当时，；当时，；当时，；当时，．∴．8．设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．(1)求的值；(2)证明：为等比数列；(3)求数列的通项公式．解析：（1）当时，，所以，即.（2）当时，因为，所以，所以所以，即，所以当时，，所以，满足式所以所以，所以是以，公比为的等比数列.（3）由（2）得，两边同乘以，可得，所以是以，公差为4的等差数列.所以，所以.9．设数列的前项和为．已知．(I)求的通项公式；(II)若数列满足，求的前项和．解：(I)由知，当时，，所以，即；又当时，，所以有．(II)由知，当，；当，，由得=1\*GB3①=2\*GB3②=1\*GB3①－=2\*GB3②得：，所以有，经检验时也符合，故对，均有．10．已知是数列的前项和，且（1）求证：数列为等比数列（2）设，求数列的前项和解：（1）①②①②可得：即为的等比数列（2）由（1）可得：