与三角形有关的线段（1）由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.如图中，线段AB、BC、CA是三角形的边；点A、B、C是三角形的项点．∠A、∠B、∠C是相邻两边所组成的角，叫做三角形的内角，简称为三角形的角．三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作△ABC，读作“三角形ABC”．（2）三角形的分类三角形按边可以分成如下两类：（3）三角形的三边的关系①三角形的任意两边之和大于第三边，②三角形的任意两边之差小于第三边．即三角形的三边为a,b,c，则a+b>c，b+c>a，c+a>b;a－b＜c，b－c＜a，c－a＜b三角形的边的不等关系的应用和作用：①判断三条线段a、b、c能否组成三角形，其判断方法有如下三种：1°当a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b都成立，即三条边都小于其它两条边之和时，能组成三角形；2°当|a－b|a时，即最大边小于其它两条边之和时可以构成三角形．②确定三角形第三边的取值范围：两边之差的绝对值＜第三边＜两边之和如果三角形已知两边分别为a、b，第三边为c，则|a－b|b，则2aPB＋PC成立的理由．分析：三角形三边关系可以用来说明线段之间的不等关系，但题目中涉及的线段不在同一个三角形中，所以需要添加辅助线，构造新的三角形．比较明显的辅助线可以作BP或CP的延长线．解答：延长BP交AC于D，在△ABD中，AB＋AD>BD，即AB＋AD>BP＋PD．在△PCD中，PD＋CD>PC．两式相加，得AB＋AD＋PD＋CD＞BP＋PD＋PC，∴AB＋AC＋PD>PB＋PC＋PD，即AB＋AC>PB＋PC．2、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D．那么线段AD叫△ABC的边BC上的高．三角形的高的数学语言：三角形的三条高相交于一点，这一点叫三角形的垂心．例5、如图，是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角△ABC的高BE，其中画错的是_________．分析：甲图错在把三角形的高线与AC边的垂线定义混淆，把“线段”画成“直线”；乙图错在没有过点B画AC的垂线，故不是AC边上的高；丙图错在未抓住“垂线”这一特征，画出的BE与AC不垂直；丁图错在没有向点B的对边画垂线．解答：甲、乙、丙、丁．例6、不等边△ABC的两边高分别为4和12，若第三边上的高也是整数，试求它的长．分析：由两边的高4和12可以求出这两边的关系，从而可以表示出第三边的取值范围，再用面积法可以求出第三边上的高．解答：设三角形三边为a、b、c，第三边上的高为h，则有3、三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线．一个三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，它们相交于一点，这一点叫三角形的重心．三角形中线的数学语言：例7、如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°，试求：（1）AD的长；（2）△ABE的面积；（3）△ACE和△ABE周长的差．分析：直角三角形的面积等于两直角边的积的一半，又等于斜边与斜边上的高的积的一半；，所以△ABE的面积是△ABC的面积的一半；△AEC的周长与△ABE的周长的差为：AC＋EC＋AE－（AB＋BE＋AE）=AC－AB．解答：4、三角形的角平分线在三角形中，一个内角的平分线与对边相交，这个顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图，∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线．一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部，它们相交于一点，这一点叫做三角形的内心．三角形角平分线的数学语言：例8、如图，若AD是△ABC的角平分线，DE//AB.（1）若DF//AC，EF交AD于点O．试问：DO是否为△EDF的角平分线？并说明理由；（2）若DO是△EDF的角平分线，试探索DF与AC的位置关系，并说明理由．分析：（1）要判断DO是否为△EDF的角平分线，即要判断∠EDA与∠ADF是否相等；（2）由DO是△EDF的角平分线知∠EDA=∠ADF，由DE//AB，AD平分∠CAB得∠EAD=