2010年考研数学高分规划班辅导讲义——汤家凤高等数学部分第一讲函数、极限、连续一、极限（一）极限基本概念1、极限的定义（1）数列极限：设{an}为一个数列，A为常数，若对任意ε>0，总存在N(ε)>0，当n>N(ε)时，有|an?A|<ε成立，则称A为数列{an}的极限，记liman=A或n→∞an→A(n→∞)。（2）函数当自变量趋于无穷时的极限：设f(x)为一个函数，A为一个常数，若对任意ε>0，存在X>0，当|x|>X时，有|f(x)?A|<ε成立，称f(x)当x→∞时以A为极限，记为limf(x)=A或f(x)→A(x→∞)。x→∞（3）函数当自变量趋于有限值的极限：设f(x)为一个函数，A为一个常数，若对任意ε>0，存在δ>0，当0<|x?a|<δ时，有|f(x)?A|<ε成立，称f(x)当x→a时以A为极限，记为limf(x)=A或f(x)→A(x→a)。x→a分别称f(a+0),f(a?0)（4）左右极限：f(a+0)=limf(x)，f(a?0)=limf(x)，x→a+0x→a?0defdef为函数f(x)在x=a处的左右极限，limf(x)存在?f(a+0),f(a?0)都存在且相等。x→a问题：问题（1）若对任意的ε>0，总存在N>0，当n>N时，有|an?A|≤2ε，数列{an}是否以常数A为极限？（2）若数列{an}有一个子列以常数A为极限，数列{an}是否以常数A为极限？（3）若数列{an}的奇子列与偶子列都存在极限，数列{an}是否有极限？若其奇子列和偶子列极限存在且相等，数列{an}的极限是否存在？-1文都教育在线：www.wendu.com知识改变命运文都成就未来2、无穷小（1）无穷小的定义：以零为极限的函数称为无穷小。（2）无穷小的性质1）有限个无穷小之和与积还是无穷小；2）有界函数与无穷小之积还是无穷小。特殊情况，常数与无穷小之积还是无穷小；3）极限与无穷小的关系：（3）无穷小的层次关系1）定义：2）性质：设α~α′,β~β′，且limβ′ββ′存在，则lim=lim；α′αα′α~β的充分必要条件是β=α+o(α)。（4）当x→0时常见的等价无穷小：1）x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ex?1~ln(1+x)；2）1?cosx~x2a,1?cosax~x2；223）(1+x)a?1~ax。（5）无穷大1）定义：2）无穷大与无穷小的关系。问题：问题（1）无穷多个无穷小之和是否一定是无穷小？（2）设α,β,γ都是无穷小，且β=o(α),γ=o(α)，是否一定有β~γ？（3）有限个非无穷小之和或者积是否一定不是无穷小？举例说明。（二）极限的性质1、极限的基本性质（1）唯一性：数列或函数极限存在必是唯一的。（2）有界性1）若数列极限存在，则该数列一定有界，反之不对。2）函数极限的局部有界性：（3）保号性1）若函数的极限大于（或小于）零，则函数在该点的去心邻域内也大于（或小于）零；2）若函数是非负（或非正）的，且函数的极限存在，则极限也是非负（或非正）。（4）列与子列极限极限的关系：-2文都教育在线：www.wendu.com2010年考研数学高分规划班辅导讲义——汤家凤2、极限的存在性定理与重要极限定理1单调有界的数列必有极限。定理2夹逼定理（数列及函数）：重要极限：sinx（1）lim=1；x→0x（2）lim(1+?)?→01?=e；ax?1（3）lim=lna。x→0x3、极限运算性质（1）四则运算性质（2）复合函数极限运算性质注解：问题：问题（1）若{an}有界，liman是否一定存在？n→∞（2）若liman=A，当m>n时，是否一定有|am?A|<|an?A|？举例说明。n→∞（3）若lim[f(x)+g(x)]存在，limf(x)及limg(x)是否存在？若lim[f(x)+g(x)]及limg(x)存在，是否一定有limf(x)存在？（4）若f(x)>0(<0)，且limf(x)=A，是否一定有A>0(<0)？举例说明。二、连续与间断（一）基本概念1、函数连续的定义（1）函数在一点连续的定义及等价定义（2）函数在闭区间上连续的定义2、间断及其间断点的分类（1）第一类间断点：（2）第二类间断点。（二）闭区间上连续函数的性质1、最值定理2、有界定理3、零点定理4、介值定理（1）最值型介值定理：（2）端点型介值定理：-3文都教育在线：www.wendu.com知识改变命运文都成就未来注