温州市第二十二中学高洪武制作高一数学竞赛第三讲二次函数一、主要知识点梳理1．二次函数的解析式：用待定系数法求求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即：（一般式），（零点式），和（顶点式，顶点坐标为）。2．最值问题：二次函数在区间上的最值一般分为三种情况讨论，即：（1）对称轴在区间左边或右边，函数在此区间上具有单调性；（2）在区间内；（3）要注意系数的符号对抛物线开口方向的影响。总之，二次函数单调性的“分水岭”是对称轴，开口方向不同，导致在对称轴两侧的单调规律将发生变化。3．根的分布：二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间有着密切联系，要注意三者之间的相互转化。二次方程二次函数二次不等式二、典型例题分析1．考点1.二次函数的解析式例1.已知二次函数和二次函数，为常数，对任意，且对任意总有常数使得；如果求常数的值；求的解析式。2.函数与的图象关于原点对称，且(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)解不等式；（Ⅲ）若在上是增函数，求实数的取值范围。考点2.二次函数的最值及值域例2.函数=，∈[―,1―],该函数的最大值是25,求该函数取最大值时自变量的值．考点3.二次方程根的分布情况例3.设，若，，求证：（Ⅰ）方程有实根；（Ⅱ）；（Ⅲ）设是方程的两个实根，则4.已知．（I）若，求方程的解；（II）若关于的方程在上有两个解，求的取值范围，并证明．三、巩固练习一、选择题1.函数（）A.有最小值没有最大值B.有最大值没有最小值C.有最小值也有最大值D.没有最小值也没有最大值2.若关于的不等式对于恒成立,则()A.B.C.D.3.不等式的解集是则等于()A.B.14C.D.4.已知函数,,若对于任一实数与至少有一个为正数,则实数的取值范围是()A.(0,2)B.(0,8)C.(2,8)D.二、填空题5.方程的两个实数根分别在区间（0，1）与（1，2）内，则实数的取值范围是6．若方程有两正根，则参数的取值范围是7.函数则关于x的方程解的个数为8．已知二次函数对称轴为且，其图象顶点为A，图象与轴交于点和点C，且的面积为18，则此二次函数的解析式为9．若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的值为。10．关于x的方程x2－2ax＋9＝0的两个实数根分别为α、β，求(α－1)2＋(β－1)2的最小值.11.已知一次函数与二次函数满足,且().(Ⅰ)求证:函数与有两个不同交点;(Ⅱ)设是两点在轴上的射影,求线段长的取值范围;(Ⅲ)当时,恒成立.12．（2008年温州摇篮杯）设,若,,.（1）求证：方程在区间（0，1）内有两个不等的实数根；（2）若都为正整数，求的最小值。